Лекция №1 План icon

Лекция №1 План




Скачати 89.92 Kb.
НазваЛекция №1 План
Дата конвертації26.02.2013
Розмір89.92 Kb.
ТипЛекция

Лекция №1


План


Подібність біологічних систем. Основи теорії подібності і аналізу розмірностей. Теореми подібності. Критерії подібності. Метод аналізу розмірностей. Пі-теорема. Визначення критеріїв подібності методом аналізу розмірностей і на підставі диференціальних рівнянь, які описують певний клас явищ.


ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ


Теория подобия является учением о методах научного обобщения эксперимента. Она указывает как надо ставить опыты и как обрабатывать их результаты, чтобы при проведении небольшого числа экспериментов иметь возможность обобщать опытные данные, получая единые уравнения для всех подобных явлений.

Применение теории подобия позволяет вместо дорогостоящих трудоемких методов выполнить исследования на моделях значительно меньших размеров; помимо этого опыты можно проводить не с биологическими жидкостями, а с модельными веществами.


Один из основных принципов теории подобия заключается в выделении из класса явлений группы подобных явлений, например

Движение окружающего нас воздуха, движение капельной жидкости по трубопроводу и движение крови по сосудам в основе своей однородны, так как по существу представляют собой перемещение вязкой жидкости под действием разности давлений. Поэтому данные явления описываются уравнением Навье-Стокса и принадлежат к одному классу.


Подобными называются явления, для которых постоянны отношения характеризующих их сходственных величин.


Геометрическое подобие (пример с пирамидами).

Безразмерные масштабные множители, выражающие отношения однородных сходственных величин подобных систем называются константами подобия



- константа геометрического подобия. Индекс L указывает на подобие линейных размеров.

Подобие может быть охарактеризовано инвариантами подобия

,

- инвариант геометрического подобия.

Для подобных физических явлений соблюдения геометрического подобия недостаточно.

Поэтому процессы подобны только при условии совместного соблюдения:

  • геометрического подобия;

  • временного;

  • подобия полей физических величин;

  • подобие начальных и граничных условий.



Пример

Сформулируем условия подобия на примере движения вязкой жидкости в натуре и в ее уменьшенной модели. Для этого рассмотрим любые сходственные точки, лежащие на оси труб





^ Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели.



При подобном движении сходственных частиц их траектории в натуре и в модели также должны быть подобны. Это условие иногда называют кинематическим подобием.


^ Временое подобие характеризуется тем, что сходственные частицы в геометрически подобных системах, двигаясь по геом подобным траекториям проходят геомп подобные пути за промежутки времени, отношение которых является постоянной величиной:



При соблюдении геом и врем подобия будет соблюдаться подобие скоростей



Подобие физических величин предполагает, что для двух любых сходственных точек натуры и модели, размещенных подобно в пространстве ти времени, отношение физических свойств являются величинами постоянными. Так, например, если движущиеся по трубопроводам жидкости имеют вязкость , плотность и тд, то для сходственных точек натуры и модели





Подобие начальных и граничных условий предполагает, что отношения основных параметров в начале и на границе натуры и модели являются соответственно величинами постоянными.

^ Константы подобия постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но изменяются в зависимости от соотношения размеров натуры и модели.


Свойство констант подобия: отношение приращений величин можно заменить отношениями самих величин




Подобие в потоках можно охарактеризовать инвариантами подобия.


Если инварианты подобия выражаются комплексами величин, полученными преобразованием диф.уравнений, описывающих процесс, то их называют критериями подобия, или обобщенными переменными.


^

ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ

Первая теорема подобия


(сформулирована Ньютоном)

При подобии систем всегда могут быть найдены такие безразмерные комплексы величин, которые для сходственных точек данных систем одинаковы, т.е. подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия.


Пример





При подобном движении частиц для сходственных точек



Следствием подобия этих переменных является подобие сил:







Величину С, составленную из констант подобия, называют индикатором подобия.

Заменяя в выражении константы подобия отношениями соответствующих величин и перенося в левую часть все величины для натуры, а в правую – для модели, находим

.

Таким образом, получен безразмерный комплекс величин, значения которого одинаково для сходственных точек обеих систем. Этот комплекс называют критерием Ньютона.

Учитывая что

.


Критерий Ньютона характеризует отношение действующей на частицу силы к силе инерции.

Первая теорема подобия может быть сформулирована следующим образом: у подобных явлений индикаторы подобия равны 1.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых следует обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.


^

Получение критериев подобия путем преобразований дифференциальных уравнений



Критерии подобия находят, деля одну часть уравнения на другую и отбрасывая знаки математических операторов.


Пример

.


При отбрасывании знаков математических операторов соблюдают следующие правила:

.

^

Вторая теорема подобия


Решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т.е. между критериями подобия.


Если обозначить критерии подобия через , то решение дифференциального уравнения может быть представлено в общем виде:



Такие уравнения называют уравнениями в обобщенных переменных, или критериальными.


Критерии подобия, которые составлены только из величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими.

Критерии же, включающие также величины, которые не являются необходимыми для однозначной характеристики процесса, а сами зависят от этих условий, называют определяемыми.


Если определяемым является критерий , то последнее у-ние можно записать в виде:

.


Вторая теорема подобия отвечает на вопрос, как обрабатывать результаты опытов, проведенных на моделях: их надо представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия.
^

Третья теорема подобия

Формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений: Подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности.

^

Подобию условий однозначности отвечает равенство определяющих критериев подобия

Третья теорема подобия может быть сформулирована так: явления подобны, если их определяющие критерии равны.

^

Этапы исследования биологических процессов методом теории подобия:


  • Составить дифференциальное уравнение, установить условия однозначности, определить критерии подобия.

  • Опытным путем на моделях установить конкретный вид зависимости между критериями подобия.



^

Основные принципы метода анализа размерностей


Многие процессы, протекающие в организме, зависят от такого большого числа различных факторов, что для них не удается получить полного математического описания; можно лишь в самом общем виде представить зависимость между различными переменными, влияющими на протекание процесса.

Если согласно практическим данным, некоторая величина зависит от параметров , то общий вид зависимости между данными величинами имеет вид:



или



Для нахождения расчетного уравнения применяют метод анализа размерностей.

π-теорема


В основу метода положена π-теорема (пи-теорема), согласно которой общую функциональную зависимость, связывающую между собой n переменных величин при m основных единицах измерения, можно представить в виде зависимости между (n – m) безразмерными комплексами этих величин, а при наличии подобия – в виде связи между (n – m ) критериями подобия.

При описании процессов функция может быть представлена в виде степенной зависимости.

Пример


Расход жидкости ^ Q, поступающей по трубе в сосуд, является функцией плотности ρ, вязкости µ, высоты h над сосудом, диаметра трубы b и ускорения свободного падения g.

При описании процесса функция может быть представлена в виде степенной зависимости:



Определить безразмерные комплексы (критерии подобия), которыми описуется происходящий процесс.
^

Составим таблицу:





Переменные величины

Размерность

Формула размерности

Показатель степени

Q


м3

L3T-1

a

ρ

кг/м3

ML-3

b

µ

кг/м*с

ML-1T-1

c

h

м

L

d

b

м

L

e

g

м/с2

LT-2

f


Количество переменных величин n = 6.

Количество основных единиц измерения m =3.

Согласно π-теоремы должно быть 3 критерия подобия: (n – m) = (6 – 3) = 3.

Степенную зависимость выразим через размерности:



или



Для того, чтобы размерность правой и левой частей приведенного уравнения была одинаковой, и выражение было однородным относительно размерности, должны выполняться условия:


(1)

(2)

(3)


Таким образом, получена система трех уравнений с шестью неизвестными. Для получения трех безразмерных комплексов необходимо исключить три неизвестных. От того, какие переменные будут исключены, зависит вид безразмерных комплексов. Любые комплексы формально будут правильными. Однако, не все из них имеют физическое содержимое. Поэтому решение задачи иногда нужно повторять.


Из уравнения (1) имеем:

(4)

Подставив (4) в (3), получим:



(5)

Подставив (5) и (4) в (2), получим:




(6)


Подставив значения а, c, d в уравнение , получим:




Сгруппировав величины с одинаковыми показателями степени, получим три безразмерных комплекса:






Схожі:

Лекция №1 План iconДокументи
1. /Аннотация 2.doc
2. /Аннотация.doc
Лекция №1 План iconЛекция 3 основы теории тонкостенных оболочек план План 1 Расчет напряжений в оболочках цилиндрической формы 3 Сферическая оболочка 7 Эллипсоид 7
К числу основних форм, на которые подразделяются объекты биомеханики, относятся оболочки
Лекция №1 План iconДокументи
1. /1/Билеты по курсу.doc
2. /1/Вступительная...

Лекция №1 План iconДокументи
1. /Лекция ь1 .doc
2. /Лекция ь1 Общие вопросы...

Лекция №1 План iconДокументи
1. /Параконная Н.К._Рег_ональна економ_ка/Лекции/Лекция 1 Вводная.doc
2. /Параконная...

Лекция №1 План iconДокументи
1. /Л.Микроек/1. Вводная лекция/Лекция 1.doc
2. /Л.Микроек/1....

Лекция №1 План iconЛекция №2а 1 Основные виды деформаций 1 Закон Гука при растяжении (сжатии) 2 Испытания материалов на растяжение 3 Задачи к практическому занятию 11 Лекция №2а
Реальные тела могут деформироваться, т е изменять свою форму и размеры. Деформация тел происходит вследствии нагружения их внешними...
Лекция №1 План iconДокументи
1. /Конспект лекций/Использование SQL Server Management Studio.doc
2. /Конспект...

Лекция №1 План iconЛекция №8 механика биологических жидкостей план Основные характеристики движения жидкости 1 Вязкость жидкости. Закон вязкого трения Ньютона 1
Количество жидкости, протекающее через поперечное сечение в единицу времени называется расходом жидкости
Лекция №1 План iconЛекция №1 механика биологических жидкостей план Основные характеристики движения жидкости 1 Вязкость жидкости. Закон вязкого трения Ньютона 1
Количество жидкости, протекающее через поперечное сечение в единицу времени называется расходом жидкости
Лекция №1 План iconДокументи
1. /ИПДО Фин.пред/Лекция 1.doc
2. /ИПДО Фин.пред/Лекция...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи