Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы icon

Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы




Скачати 221.16 Kb.
НазваОсновные законы колебаний во всех случаях одинаковы
Дата конвертації26.02.2013
Розмір221.16 Kb.
ТипЛекція
1. /Лекция ь1 .doc
2. /Лекция ь1 Общие вопросы по биомеханика Лекция ь1 Коливання.doc
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы
Лекція Загальні питання біомедичної механіки



Лекція №


Нет такой области техники, такого раздела физики, в которых мы не встречались бы в той или иной степени с явлениями, в которых имеют место колебания. Радиотехника, электротехника переменных токов, обработка сигналов, в том числе биомедицинских, целиком основана на исследованиях колебательных процессов. В оптике, акустике, механике, электричестве, в теории атома, клетки – всюду мы встречаемся с колебаниями.

Физическая сущность процессов, в которых имеет место колебания, различны (колебания моста и тока в электрическом контуре), но детальный анализ показывает, что основные законы колебаний во всех случаях одинаковы.

Постановка задач, связанных с колебаниями, всегда обладает заметной спецификой, но все эти задачи, в конечном счете, решаются на основе общих принципов и методов, составляющих собственно содержание теория колебаний.

В вычислительном аппарате теории колебаний присутствуют понятия, заимствованые из теории электрических цепей и теории автоматического управления (частотне методы, комплексне представления сил и перемещений), а также матричные методы.

Мы будем расматривать примеры соответствующие практическим ситуациям биомеханики, но в схематизированном виде.


Все колебательные процессы разделяются на два класса: периодические и непериодические.

Периодическим называется такой процесс, при котором колеблющаяся величина, взятая в любой момент времени, через определенный отрезок времени Т имеет то же самое значение.

Среди класса периодических колебаний огромную роль играют гармонические колебания, или синусоидальные.


3.1.МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ


Багатьом процесам, що відбуваються в біологічних системах, властива періодичність. Вона спостерігається у функціональній діяльності мозку, серця, легенів, м’язів, шлунка, тощо. Деякі процеси у живих організ­мах можна вважати коливальними: коливання стінок судин при поширенні пульсових хвиль, коливання тиску крові у судинах, об’єму повітря у легенях, коливання барабанних перетинок, голосових зв’я­зок, значень біопотенціалів у різних точках тіла людини.

Для визначення норми або патології того чи іншого органа застосовують графічний запис періодичних процесів, які супровод­жу­ють його функціональну діяльність, з подаль­шим його аналізом – визначенням його тривалості (періоду), частоти й амплітуди дослід­жуваних величин.


Для розв’язан­ня подібних задач необхідне знання загальних закономір­ностей, що притаманні коливальним процесам незалежно від їх природи і що описуються єдиними математичними рівняннями. Закономірності, властиві коливальним проце­сам, най­більш просто вивчати на прикладі механічних коли­вань.

3.1.1. Гармонічні коливання та їх основні параметри


На малюнках нижче представлено одномасові схеми коливання серця






а – при відсутності сил тертя;





б – з врахуванням сил тертя (демфірування);






в – під дією періодичної вимушуючої сили без врахування тертя;






г – під дією періодичного потоку енергії.


Розглянемо серце як пружинний маятник (мал. 3.21). При змі­щен­ні матеріальної точки масою m на відстань х відносно положення рівно­ва­ги на неї починає діяти сила пружності, яка викликана дефор­мацією пружини

Fпр = – . (3.35)



Мал. 3.21. Пружинний маятник.

Згідно з ІІ законом Ньютона ця сила надаватиме мате­ріаль­ній точці прискорення :

Fпр = ma. (3.36)

Прирівнюючи праві частини рівностей (3.35) і (3.36), одер­жи­мо:

ma = – . (3.37)

Враховуючи, що прискорення є другою похідною від координа­ти за часом , останнє рівняння набуває вигля­ду лінійного диференційного рівняння

. (3.38)

Оскільки коефіцієнт жорсткості пружини k > 0 і m > 0, відно­шен­ня k/m можна позначити через квадрат деякої величини : . Тоді рівняння (3.38) матиме вигляд:

. (3.39)

Таким чином, функція х = f (t) задовольняє диференцій­но­­му рів­нян­ню ІІ-го порядку, яке є лінійним, однорідним і зі сталими коефіцієнтами. Розв’язок таких рівнянь, як відомо, зводиться до розв’язування відповідних характеристичних алгебраїчних рівнянь.

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди­фе­рен­цій­но­му рівнянню (3.39):

. (3.40)

Корені цього квадратного рівняння дорівнюють , тобто вони є різними й уявними.

Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.39) на випадок таких коренів відповідного характеристичного рів­няння має вигляд:

.

Нехай c1 = Асоs0, a c2 = – Asin0, де A та 0 – довільні сталі, тоді

. (3.41)

Якщо прийняти c1 = Аsin0, a c2 = Acos0, то прийдемо до результату:

. (3.42)

Значення сталих А та 0 визначаються початковими умовами, тоб­то положенням та швидкістю матеріальної точ­ки в момент часу t = 0.


Отже, ми дійшли до висновку: матеріальна точка, що знаходиться під дією пружної сили, здійснює коли­валь­ний рух, при якому її зміщення від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса або коси­нуса. Такі коливання називають гармонічними.


Стала А в рівняннях (3.41, 3.42) є амплітуда гармонічного коливання, вона дорівнює максимальному зміщенню маят­ни­ка від положення рівноваги. Аргумент синуса (або коси­нуса): – фаза коливань. Фаза визначає змі­щен­ня маятника в будь-який момент часу, 0 – початкова фаза, яка визначає зміщення маятника в момент часу t = 0.


Розглянуті коливання відбуваються при відсутності сил тертя і зовнішніх сил. Такі коливання називають власними.

Величина – циклічна частота власних коливань.

Тій же самій закономірності підпорядковується зміщен­ня від положення рівноваги математичного маятника, що коливається, при невеликих кутах відхилення (мал. 3.22).




Мал. 3.22. Математичний маятник.

Сила, яка спричиняє коливання математичного маятни­ка, не є пруж­на за своєю природою. Дійсно, повертаюча сила F спрямована по дотичній до дуги кола радіуса l, напрямлена до положення рівно­ваги і пропор­ційна зміщен­ню х:

F = – mgsin = – mg

Сила, що не є пружною за своєю природою, але анало­гічна їй по залежності від зміщення, називається квазіпруж­ною. Таким чином, F є квазіпружною силою. Рівняння дина­міки для матема­тич­ного маятника матиме вигляд:

, або , . (3.43)

Отримане рівняння повністю збігається з рівнянням (3.39), що описує рух пружного маятника, а отже має той самий розв’язок. Таким чином, гармонічні коливання – це коливання, що відбувають­ся під дією пружних або квазі­пружних сил.

Швидкість та прискорення при гармонічних коливаннях


Нехай відлік часу обрано таким чином, щоб початкова фаза

0 = 0. Тоді рівняння (3.42) матиме вигляд:

. (3.44)

Швидкість тіла, що коливається, знайдемо як похідну від координати х за часом t

, (3.45)

де – амплітуда швидкості.


З рівняння (3.45) випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, а фаза швидкості від­різ­няється від фази зміщення на /2, тобто в момент часу, коли х = 0, швид­кість максимальна.

Оскільки швидкість при гармонічних коливаннях змі­ню­ється з часом, то цей рух характеризується прискорен­ням, яке знайдемо як другу похідну від зміщення х за часом

(3.46)

де – амплітуда прискорення.

Видно, що і прискорення змінюється за гармонічним законом, а фаза прискорення відрізняється від фази зміщен­ня на , а від фази швидкості на /2. Згідно з (3.44) . Замінивши в (3.46) через x, отримаємо:

.

З цієї рівності виходить, що при гармонічних коливаннях прискорення тіла прямо пропорційне до зміщення від поло­ження рівноваги і має протилежний зміщенню напр­ямок.

Період і частота гармонічних коливань


Періодом гармонічного коливального руху називають наймен­ший проміжок часу Т, по закінченні якого всі вели­чини, що характеризують цей рух (х, υ, a), набувають пер­віс­ні значення. З рівностей (3.44) – (3.46) випливає, що пері­оду коливань відповідає зміна фази на величину 2.

У момент часу t фаза дорівнює , а в момент часу t + Т: . Тоді з умови періодичності маємо:

. (3.47)

Підставляючи в (3.47) вирази для 0, що відповідають пружинному та математичному маятникам, отримаємо від­по­відні вирази для періодів коливань цих маятників:

, . (3.48)

Величину = 1/Т = 0/2 називають частотою коливань. Часто­та вказує, скільки разів за 1 сек повторюється один і той же стан тіла, що коливається. Частота вимірюється в Герцах (Гц),

[] = 1/c = c– 1 = Гц.

Частота (пері­од) власних коливань, як випливає з (3.48), залежить лише від властивостей самої системи.


Пример 1

Напишите уравнение гармонического колебания с амплитудой 3 см, периодом 2 с и начальной фазой π/6. Ответ: 0,03sin(πt + π/6).

3.3.2. Затухаючі коливання і аперіодичний рух


Припустимо, що в розглянутих системах існує тертя чи опір, причому сила тертя (опору) пропорційна швидкості: Fт = – , де r – коефіцієнт тертя (опору). Запишемо в цьому випадку рівняння руху (ІІ закон Ньютона).

ma = – або .

Позначивши , , отримаємо диференційне рів­нян­ня другого порядку, що описує рух пружинного маят­ника у присутності сил тертя

. (3.49)

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди­фе­рен­­цій­ному рівнянню (3.49):

.

Знайдемо корені характеристичного рівняння

. (3.50)

Зaгальний розв’язок рівняння (3.49) залежить від знака різниці . Розглянемо всі можливі випадки:

1. , коли корені характеристично­го рівняння є комплек­с­ни­ми числами (затухаючі коливання)

,

де – циклічна частота затухаючих коливань,

- циклічна частота власних коливань.

У випадку комплексних коренів характеристичного рівняння загальний розв’я­зок (3.49) має вигляд

, або

, (3.51)

де – лінії, що огинають криву затухаючого процесу (амплітуда коливань, яка зменшується за експо­ненці­ал­ьним законом), – коефіцієнт затухання, визна­чає швидкість затухання амплітуди. Залежність х = f (t) для затухаючих коливань подано на мал. 3.23.



Мал. 3.23. Затухаючі коливання.

Ступінь затухання часто характеризують декрементом зату­хан­­­ня  і логарифмічним декрементом затухання:

,

,

де період затухаючих коливань дорівнює

,



Логарифмічний декремент є кількісною характеристикою темпа затухання вільних коливань.

Пример 2

По экспериментальной виброграмме свободных колебаний биологической системы установлено, что за один цикл амплитуда уменьшается на 40%. Оцените, в какой мере трение в системе влияет на частоту колебаний.

Находим логарифмический декремент .

Определим коэффициент затухання из уравнения: . Решая это уравнение находим:










Определим частоту затухающих колебаний из уравнения:






Разница между собственной и затухающей частотами составляет:

, что соответствует 0,3%.


Таким образом, частота затухающих колебаний отличается от собственной частоты системы без трения на 0,3%.

Из этого примера видно, что даже при заметном затухании колебаний (уменьшение амплитуды на 40% за один цикл) силы трения незначительно влияют на частоту колебаний.


2. , коли корені характеристично­го рівняння є дій­с­ни­ми числами (аперіодичні коливання)

.

У цьому випадку загальний розв’язок рівняння (3.49) ма­тиме вигляд

, (3.52)

що відповідає аперіодичному рухові (мал. 3.24).

3


Мал. 3.24. Аперіодичний рух.
.
, коли корені є кратними. Легко побачити, що і в цьому випадку рух тіла буде аперіодичним.

Коливання, що виника­ють у системі при відсут­нос­ті зовнішніх сил, нази­ва­ють вільними. Частота віль­них коливань залежить як від пружних власти­востей сис­те­ми (0), так і від інтен­сив­ності втрат (). Якщо , то 0 і період вільних коливань стає близьким до періоду власних коливань.


3.3.3. Вимушені коливання


Припустимо, що на матеріальну точку масою m, крім пружної або квазіпружної сили і сили тертя, діє зовнішня вимушуюча сила, що змінюється за періодичним законом

Fз = F0sin t,

де F0 – амплітуда, а  – циклічна частота вимушуючої сили. В цьому випадку рівняння руху матиме вигляд

ma = – r + F0sint, або

. (3.53)

Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.53) має ви­гляд

х = Аsin(t + 0), (3.54)

де А – амплітуда вимушених коливань, яка дорівнює

, (3.55)

а початкову фазу 0 визначають з рівності:

. (3.56)

Важливу формулу (3.55) для амплітуди А вимушених коливань можна отримати, скориставшись графічним мето­дом розв’язку неоднорідних диференційних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами.

З формули (3.54) для зміщення х легко отримати вирази для похідних

,

.

Якщо намалювати “векторну” або “фазову” діаграму (мал. 3.25а), відклавши на ній амплітудні значення всіх доданків у рівнянні (3.53) з урахуванням зсуву їх фаз, то очевидно, що векторна сума трьох доданків у лівій частині (3.53) повинна дорівнювати амплі­тудному значенню виму­шу­­ючої сили, тобто . Звідси безпосередньо випливає формула (3.55) для амплітуди А, так само як і формула (3.56) для tg.



Мал. 3.25а. Векторна діаграма для визначення амплітуди A і

початкової фази 0.


Таким чином, якщо на тіло, яке коливається, діє зовніш­ня періодична сила з частотою , то тіло здійснює коливан­ня з тією ж частотою, причому амплітуда коливань залежить від амплітуди і частоти зовнішньої сили, від коефіцієнта затухання, від пружних властивостей системи і маси тіла, яке коливається. Такі коливання називають вимушеними.


3.3.4. Явище резонансу і автоколивання


Явище досягнення максимальної амплітуди вимушених коли­вань при заданих 0 i називають резонансом. Явище резонан­су спостерігається при такій частоті рез вимушу­ючої сили, при якій амплітуда вимушених коливань А досягає максимального значення. Відповідно до формули (3.55) дослідження функції А = f () на екс­тре­мум дає рів­нян­ня , яке дозволяє от­­ри­­­ма­ти значення резо­нанс­ної частоти:

.

Цьому значенню резонансної частоти відповідає значення резонансної максимальної амплітуди

.

За відсутності затухання ( = 0): рез = 0, a Aрез  .

Н
а мал. 3.25б подані резонансні криві – залежності амплі­туди вимушених коливань від частоти вимушуючої сили при різних коефіцієнтах затухання ().

Мал. 3.25б. Явище резонансу.

При вимушених коливаннях подача енергії ззовні (для компен­са­ції втрат на тертя) здійснюється і регулюється зовнішньою періодичною силою, яка нав’язує системі свою частоту і визначає амплітуду коливань. Однак, можна ви­кли­кати незатухаючі коливан­ня і постійною силою, якщо сама система буде регулювати подачу енергії ззовні.

Системи, які автоматично регулюють подачу енергії від зовніш­нього джерела, називають автоколивальними, а пері­одич­ні процеси, які в них відбуваються, – автоколиваннями. Амплітуда і частота автоколивань залежать від власти­вос­тей самої системи. Схему автоколивальної системи, яка скла­­да­ється з чотирьох обов’язкових елементів, подано на мал. 3.26.



Мал. 3.26. Автоколивальна система.

Прикладами автоколивальних біологічних систем є серце, легені.

Форма автоколивань може бути різною: це можуть бути коли­ван­ня, що наближаються до гармонічних або імпульсні коли­ван­ня різної форми – прямокутні, експоненціальні, пилко­подібні.

3.3.5. Додавання гармонічних коливань


Коливання, для яих зміщення як функція часу може бути описано будь-яким законом, окрім синуса чи косинуса, називають складними (негармонічними).

Відомо, що будь-яке складне коливання можна подати у вигляді суми простих гармонічних коливань. Перш ніж аналізувати складні коливання (а таку задачу медикам дово­диться розв’язувати досить часто), розглянемо, до яких ре­зуль­татів може призвести додавання гармонічних коли­вань.

1. Додавання гармонічних коливань, спрямованих вздовж однієї прямої


Нехай тіло бере участь одночасно у двох коливаннях, спрямованих вздовж однієї прямої, причому амплітуди і періоди (частоти) цих коливань однакові, а початкові фази різні

, .

Результуюче зміщення х тіла від положення рівноваги до­рів­нює алгебраїчній сумі зміщень х1 і х2:



де .

Таким чином, результуюче коливання являє собою гармонічне коливання, яке відбувається вздовж тієї ж самої прямої, що і складові коливання, і з періодом (частотою), який дорівнює періоду (частоті) складових коливань. Амплі­туда результуючого коливання залежить від різниці почат­ко­вих фаз складових коливань. Якщо = 2k, де k = 0, 1, 2, …, то i Aрез = 2A (або Арез = А1 + А2, якщо А1А2). Якщо 12 = (2k + 1), то і Aрез = 0 (або Арез = А1А2, якщо А1А2).

Якщо складові коливання відрізняються періодами (частотами), то результу­юче коливання вже не буде гармонічним.

Розглянемо, як особливо цікавий, результат додавання двох гармонічних коливань рівних амплітуд і фаз, періоди (частоти) яких відрізняються, тобто

, .

Результуюче зміщення дорівнює



де .

Якщо різниця 12 мала, то амплітуда A(t) змінюється з ча­сом за гармонічним законом, але з частотою . Такі коливання називають биттям (мал. 3.27).



Мал. 3.27. Биття.

Період зміни амплітуди коливань називають періодом бит­тя (Тб). Період биття може бути визначений з умови:

.

Отже, частота . Таким чином, час­то­та змі­ни амплітуди результуючого коливан­ня дорівнює різ­ниці частот складових коливань.

2. Додавання взаємноперпендикулярних гармонічних коливань


Нехай матеріальна точка водночас бере участь у двох коливаннях, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрям­ках:

, .

Cукупність координат х і у матеріальної точки у різні мо­ме­нти часу визначають траєкторію руху матеріальної точ­ки у площині XY. Форма траєкторії залежить від спів­від­но­шення частот і різниці фаз складових коливань. Наведемо деякі випадки додавання коливань (мал. 3.28):

  1.  = 12 = 0, 1 = 2,

рівняння траєкторії у = (А2/А1)х;

  1.  = 12 = , 1 = 2,

рівняння траєкторії у = (– А2/А1)х;

3)  = /2, 1 = 2, рівняння траєкторії ;

4, 5) , у цьому випадку форма траєкторії за­ле­­жить від співвідношення частот 1 і 2. На мал. 3.28 наве­дено траєкторії для випадків 1 : 2 = 1:2 і 1 : 2 = 2:3.



Мал. 3.28. Складання взаємноперпендикулярних коливань (фігури Лісажу).

Отримані криві, що їх описує матеріальна точка, назива­ють фі­гу­рами Лісажу. Криві, подібні до кривих Лісажу, спос­тері­гають при дослідженні біопотенціалів серця мето­дом векторелектрокардіогра­фії.

Механічні хвилі


Якщо тіло, яке коливається, знаходиться у пружному середо­вищі, то у ділянках середовища, що прилягають до тіла, виникають періодичні деформації, які зумовлюють появу пружних сил. Завдяки взаємодії частинок середовища деформації будуть розповсюджу­ватись з деякою швидкістю, яка залежить від фізичних властивостей середовища. При цьому частинки середовища здійснюють коливаль­ний рух навколо положення рівноваги, а від одних ділянок середо­вища до інших передається лише стан деформації.

Процес розповсюдження коливального руху в середо­вищі називається механічною хвилею. Цей процес можна описати через зміну в часі і просторі положення частинок середовища (зміну величини зміщення S (x, t), тиску P (S, t), або густини (x, t)). За­леж­но від характеру пружних де­фор­мацій, що виникають у середовищі, роз­різня­ють поздовжні і поперечні хвилі. У поперечних хвилях частин­ки середовища здійснюють коливання в напрямку, перпенди­куляр­но­му до напрямку розповсюдження хвилі. Такі хвилі збуджуються в середовищах, в яких пружні сили виникають при деформаціях зсуву. Як відомо, такими середовищами є, в основному, тверді тіла. У поздовж­ніх хвилях частинки коливаються вздовж лінії розпов­сюдження коливань. Ці хви­лі збуджуються в середовищах, в яких пружні сили вини­кають при деформаціях стиснення і розтягування, тобто в газах, рідинах, твердих тілах.

3.4.1. Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвилі


Припустимо, що хвильовий процес розповсюджується у додатному напрямку осі ОХ, а джерело коливань знахо­дить­­ся в площині, перпендикулярній до напрямку розпов­сюд­жен­ня, і коливаєть­ся за законом S(t) = Asin t (мал. 3.29).



Мал. 3.29. Хвильовий процес.

Нехай u – швидкість розповсюдження хвильового про­це­су у середовищі. Через проміжок часу = х/u хвильовий процес досягне точки В, яка знаходиться на відстані х від джерела коливань, і викличе коливання цієї точки через час за законом:

S(x, t) = Asin (t) = Asin (tx/u). (3.57)

Рівняння (3.57) – це рівняння плоскої хвилі. Величину називають фазою хвилі. Геометричне місце то­чок, які коливаються в однаковій фазі, утворює хвильову або фазову поверхню. Поверхня, до якої дійшла хвиля у деякий момент часу, називається фронтом хви­лі. У даному випадку фронт хвилі являє собою площину х = const, тому хвиля зветься плоскою. Форма хвильової поверхні визна­чається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. В ізотропному середовищі від точкового дже­рела розповсюджується сферична хвиля, в якої хвильова повер­хня є сфера.

Під швидкістю розповсюдження хвилі розуміють швидкість роз­повсюдження фіксованої фази коливання. Дійсно, якщо = const, то після диференціювання цієї рівності отрима­ємо:

 (dtdx/u) = 0,

звідки u = dx/dt.

Як відомо, довжина хвилі дорівнює відстані, яку проходить хвиля за час, що дорівнює періоду коливань:

= uT.

Враховуючи зв’язок між Т, u, i , рівняння (3.57) можна пода­ти у вигляді:




Пример 3

Определите разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии, расположенными на расстоянии ∆х = 20 см друг от друга, считая скорость пульсовой волны равной u =10 м/с, а колебания сердца гармоническими с частотой =1,2 Гц.

Фаза волны в точке, расположенной на расстоянии х в момент времени t равна:

.


Для точки, расположенной на расстоянии (х +∆х), фаза волны составляет:

.


Тогда разность фаз равна:






З рівняння плоскої хвилі випливає, що зміщення S = f (x, t), тобто хвиля має подвійну періодичність (як у просторі, так і у часі). Рівняння (3.57) є розв’язком диференційного рівнян­ня другого порядку у частинних похідних:

. (3.58)

Рівняння (3.58) являє собою одновимірне хвильове рівняння плоскої хвилі. Якщо яка-небудь фізична величина описується таким хвильовим рівнянням, то це означає, що вона розповсюджується в просторі у вигляді плоскої хвилі зі швидкістю u.

3.4.2. Потік енергії хвилі. Вектор Умова


Процес розповсюдження хвилі супроводжується пере­но­сом енергії коливань. Кількість енергії, що переноситься хвилею через поверхню S за одиницю часу, називають потоком енергії через дану поверхню

Ф = Е/t , [Ф] = Дж/с = Вт.

Нехай за час t фронт хвилі змістився на відстань l = . Отже, за час t всі частинки середовища в об’ємі = Sl отримали енергію Е = wSL, яка пройшла через площину S за час t, де w – об’ємна густина енергії. Тоді потік енергії через площу S дорівнюва­тиме:

. (3.59)

Потік енергії, який переноситься хвилею через одиничну поверхню в напрямку нормалі до цієї поверхні, називається густиною потоку енергії або інтенсивністю хвилі

І = Ф/S = wu.

Інтенсивність хвилі І – векторна величина, оскільки швид­кість u – вектор, саме тому її називають вектором Умо­ва

I = wu. (3.60)

Вектор Умова чисельно дорівнює густині потоку енергії і збігається за напрямком з вектором швидкості розповсюд­жен­ня хвилі.

Подамо вектор Умова у дещо іншому вигляді. Як відо­мо, повна механічна енергія гармонічних коливань однієї частинки (осцилято­ра) дорівнює:

.

Беручи до уваги рівність і підставляючи вирази (3.44) і (3.45) для х(t) та u(t) в останню рівність, отримаємо

.

Об’ємну густину енергії w можна знайти як сумарну енергію коливань всіх n частинок в одиниці об’єму

, (3.61)

де = nm – густина середовища. З урахуванням (3.61) рівність (3.60) набуває вигляду

. (3.62)

гармонический анализ реальных колебаний. Теорема Фурье



Реальные колебания не всегда вляются гармоническими.

Любой периодический сигнал сложной формы может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических колебаний (синусов и косинусов) различных частот, кратных основной частоте колебания, взятых с определенными амплитудами - теорема Фурье.

Представление сложного сигнала в виде суммы гармонических колебаний называется разложением Фурье. Математически это можно представить в виде:





где Т – период сложного колебания.

Остальные циклические частоты вычисляются по формулам: ,

где - целое число.

Амплитуды гармонических колебаний определяются по специальным формулам.

Таким образом, каждое сложное колебание имеет свой специфичекий индивидуальный набор амплитуд и частот гармоник.

Разложение Фурье используют для количественного описания изменения давления и кровотока в системе кровообращения, идентификации человека по голосу и т.д.




Контрольные вопросы по теме


  1. Какие колебания называются свободными затухающими колебаниями?

  2. Запишите дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение.

  3. Что называется коэффициентом затухания и логарифмическим декрементом затухания? Как они связаны?

  4. Какие параметры влияют на коэффициент затухания?

  5. Как зависит амплитуда затухающих колебаний от частоты?

  6. Чем отличаются друг от друга свободные, вынужденные и автоколебания?

  7. Что называется скоростью волны?

  8. Равна ли скорость волны скорости колебательного движения частиц среды, в которых эта волна распространяется?

  9. Зависимость скорости распространения волны от модуля упругости и плотности среды.

И т.д.

Завдання на СРС


  1. Механічні процеси у слуховому апараті

  2. Рухи очей



На практичні заняття виноситься наступний навчальний матеріал:


  1. Материальная точка массой 1 г совершает гармонические колебания по закону х = 3cos(πt/4 + π/3 )см. Найдите максимальную силу, действующую на точку.

  2. Используя условие предыдущей задачи, найдите полную энергию колеблющейся точки.

  3. Логарифмический декремент затухання математического маятника 0,093. За сколько времени амплитуда колебаний маятника уменьшится в 2 раза, если его длина 1 м.

  4. Точка, отстоящая от источника волны на расстоянии λ/8, совершает колебания с амплитудой 10 см. Определите ее смещение от положения равновесия в момент времени Т/4. Начальная фаза равна нулю.

  5. Уравнение незатухаючих колебаний имеет вид: х=5cos(2πt)[cм]. Определите ускорение точки, находящейся на расстоянии х=1м от источника волны в момент времени 1 с после начала ее распространения. Скорость волны 300 м/с.

  6. Тело массой 1 кг, прикрепленное к горизонтальной пружине с жесткостью 1 Н/м, было смещено на расстояние 0,01 м в положительном направлении от положения равновесия. Определите основные характеристики гармонических колебаний.

  7. Колебательная система, рассмотренная в предыдущей задаче, совершает колебания в вязкой среде с коэффициеннтом трения 0,01 Нс/м. Определите логарифмический декремент затухания.

  8. На колебательную систему, рассмотренную в предыдущей задаче, действует внешняя сила, изменяющаяся по закону F(t)=5sin(π/2)t. Вычислите амплитуду колебаний. При какой частоте изменения внешней силы в системе наступит резонанс?

  9. Две точки, расстояние между которыми ∆х =1 м, лежат на прямой вдоль которой распространяется волна со скоростью 200 м/с. Териод колебания 0,05 с найдите разность фаз колебаний этих двух точек.

  10. Источник плоской гармонической волны совершает колебания по закону 5sin (2πt) [см]. Фронт волны движется в положительном направлении оси Х со скоростью 1 м/с. Запишите зависимость смещения от времени для точки, имеющей координату х=5 м. Определите длину волны и постройте график зависимости смещения точек среды от их координаты для фиксированного момента времени 1с после начала колебаний.

  11. Две плоские механические волны одинаковой амплитуды движутся в воздухе. Полагая амплитуды и скорости волн одинаковыми, найдите отношения их интенсивостей, если частота первой соответствует звуковому диапазону и равна 103 Гц, а частота второй – ультразвуковому и равна 106 Гц.



Схожі:

Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconГейнц Гудериан Внимание, танки! История создания танковых войск
Если основные законы боя в целом одинаковы для всех родов войск, то их применение сильно зависит от имеющихся в наличии технических...
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconReset All: Сброс всех настроек (возврат всех настроек в первоначальное положение). Import db (База данных)
Будьте осторожным, изменяя настройки, некорректное изменение настроек может повлиять на качество работы устройства, а в некоторых...
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconДокументи
1. /Волновые процессы. Основные законы. Иродов И.Е. .djvu
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconПлан урока. «Основные законы»1906 г
Как менялась политика самодержавия в 1906-07 гг и к каким результатам это привело?
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconГермания. Разрешенные параметры и особенности дорожного движения
В условиях тумана, сильного дождя или снегопада, в случаях, когда видимость уменьшается до 50 м, максимальная скорость ограничена...
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconФилософия XIX века
Подобный антропологический Атеизм лег в основу философии Фейербаха учения о конкретном чувствующем, страдающем, мыслящем человеке,...
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconЗаконы и документы у общества имеются следующие законы: Про екологічний аудит. Про захист прав споживачів. Про цінні папери та фондовий ринок. Лісовий кодекс України

Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconУрок №29. Почвы и земельные ресурсы
Основные знания: основные генетические типы почв Украины, закономерности их распространения; основные мероприятия по рациональному...
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconПлан-конспект урока физики в 11 классе. Учитель Дворянчикова М. А. Моусош №2 п. Безенчук Тема: Законы фотоэффекта. Тип урока: урок исследование
Цель: Раскрыть взаимосвязь гипотезы Планка с явлением фотоэффекта; объяснить это явление и его законы на основе квантовой теории
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconКонвенция о ликвидации всех форм дискриминации в отношении женщин
Устав Организации Объединенных Наций вновь утвердил веру в основные права человека, в достоинство и ценность человеческой личности...
Основные законы колебаний во всех случаях одинаковы iconВопрос Описать координатные плоскости и основные размерения судна
Для всех судов, кроме деревянных, железобетонных и многослойных пласт­массовых, на теоретическом чертеже принято изображать поверх­ность...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи