Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації icon

Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації




Скачати 102.29 Kb.
НазваЗавдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації
Дата конвертації30.03.2013
Розмір102.29 Kb.
ТипДокументи

Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації

(завдання, за якими проводиться II етап – Львівська обласна математична олімпіада 2010 року серед студентів перших курсів ВНЗ I-II рівнів акредитації)


Матеріал запропонований методичним об’єднанням викладачів математики ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації Львівської області


Голова методичного об’єднання

к. ф.-м. н. Мохонько Валентина Дмитрівна


Розділ 1. Тотожні перетворення виразів

  1. Обчислити значення виразу:

1.1. ,

при .

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

  1. Спростити вираз:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5. , при .

2.6. , при .

2.7. , при

  1. Обчислити значення виразу:

3.1. ,

при .

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

  1. Спростити вираз:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5. , при .

4.6. , при .

4.7. , при .

Розділ 2. Рівняння, нерівності та їх системи

  1. Розв’яжіть рівняння:




    1. (х2 – 6х)2 – 2(х – 3)2 = 81;

    2. ;

    3. 2(х2+х+1)2-7(х2–2х+1)–13(х3–1)=0;

    4. (х + 1) (х + 3)(х + 5)(х + 7) + 15 = 0;

    5. (х + 2) (х – 4)(х – 7)(х – 1) = 40;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

    9. ;

    10. ;

    11. ;

    12. ;

    13. ;

    14. ;



    15. ;

    16. ;

    17. (х2 – 2х + 2)2 + 3х(х2 – 2х + 2) = 10х2;

    18. (х2 + х + 4)2 + 8х(х2 + х + 4) + 15х2 = 0;

    19. (х – 3) (х + 4)(х + 6)(х – 2) = 10х2;

    20. ;

    21. ;

    22. (х – 2)4 + (х – 3)4 = 1;

    23. (х – 6)4 + (х – 4)4 = 82;

    24. (5 – х)4 + (2 – х)4 = 17;

    25. (2х – 3)4 + (2х – 5)4 = 2;

    26. х4 – 2х2 – 400х = 9999.

    27. Знайти цілі розв’язки рівняння: .



  1. Розв’яжіть системи:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;











  2. Розв’язати нерівність:

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5. .

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13. .

5.14. .

5.15. Якими мають бути значення т, щоби нерівність справджувалася при всіх додатних значеннях х?

5.16. Якими мають бути значення т, щоби нерівність справджувалася при всіх дійсних значеннях х?

  1. Розв’язати системи нерівностей:

6.1.

6.2.

6.3. Знайти всі значення параметра т, при яких система нерівностей має лише один розв’язок.

6.4. Знайти всі значення параметра т, при яких множиною розв’язків системи нерівностей є відрізок, довжина якого дорівнює одиниці.

Розділ 3. Задачі з параметрами

  1. Визначте кількість розв’язків рівняння залежно від значення параметра а.

  2. Знайти значення а, при якому сума квадратів коренів рівняння дорівнює 1,75.

  3. Вкажіть всі значення параметра а, при яких система рівнянь має безліч розв’язків. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповідь. Якщо таких значень кілька, то у відповідь запишіть їх суму.

  4. Знайдіть значення параметра а, при якому система рівнянь не має розв’язку.

  5. Знайдіть всі значення параметра а, при яких система має єдиний розв’язок. У відповідь запишіть їхню суму.

  6. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система рівнянь має два розв’язки.

  7. Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система рівнянь має розв’язком точно дві пари чисел.

  8. Знайдіть всі значення параметра а, при яких система має єдиний розв’язок. У відповідь запишіть їх суму.

  9. Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система має єдиний розв’язок.

  10. Знайдіть найменше ціле невід’ємне значення параметра а, при якому система не має розв’язків.

  11. Знайдіть найменше значення параметра а, при якому система має лише три розв’язки.

  12. Знайдіть найменше ціле додатне значення параметра а, при якому система має два розв’язки.

  13. Знайдіть значення параметра а, при якому система має єдиний розв’язок. Якщо таких значень декілька, то запишіть їх добуток.

  14. Знайдіть усі значення параметра а, при яких система має єдиний розв’язок. Якщо таких значень декілька, то запишіть їх добуток.

  15. Знайдіть найменше значення параметра а, при якому система рівнянь має єдиний розв’язок.

  16. Вкажіть всі значення параметра а, при яких система рівнянь має безліч розв’язків. Якщо таких значень кілька, то у відповідь запишіть їх суму.

  17. Знайдіть усі значеннях параметра а, при яких система не має розв’язків.

Розділ 4. Тригонометрія

  1. Знаючи, що і , знайти .

  2. Знаючи, що , знайти

.

  1. Обчислити:

    1. ;

    2. , якщо ;

    3. , якщо ;

    4. ;

    5. , якщо .

  2. Розв’язати рівняння:

4.1.;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. ;

4.9.

4.10. .

  1. Скільки розв’язків має система рівнянь:

  2. Знайти невід’ємні значення х, у, z, такі що і .

  3. Один із кутів прямокутного трикутника задовольняє рівняння . Показати, що трикутник рівнобедрений.

  4. Знайти усі кути трикутника, які задовольняють рівняння .

  5. Відношення площі прямокутного трикутника до площі квадрата, побудованого на його гіпотенузі, дорівнює k. Знайти суму тангенсів гострих кутів трикутника.

Розділ 5. Логарифми

  1. Знайти цілу частину числа .

  2. Порівняти числа: та .

  3. Порівняти числа: 2009200920102010 та 2009201020102009.

  4. Довести:

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. якщо a,b,c – сторони прямокутного трикутника.

  1. Обчислити значення , якщо ,.

  2. Обчислити значення , якщо .

  3. Відомо, що і х≠1. Знайти

  4. Відомо, що і. Знайти залежність α від γ .

  5. Знаючи, що і , показати, що .




  1. Обчислити значення виразу:

    1. .

    2. .

    3. .

    4. .

  2. Спростити вирази:

11.1. .

11.2..

  1. Знайти х, якщо .

  2. Розв’язати рівняння:

13.1. .

13.2. .

13.3. .

13.4. .

13.5. .

13.6. .

13.7. .

13.8..

13.9. .

13.10. .

13.11.

13.12. .

  1. Розв’язати нерівності:

14.1. .

14.2. .

  1. Розв’язати системи:

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

Розділ 6. Планіметрія і стереометрія

  1. Дано прямокутний трикутник з катетами 3 м і 4 м. Проведено круг так, що його діаметр збігається з більшим катетом. Обчислити площі частин круга, на які він розбивається гіпотенузою трикутника.

  2. У правильний чотирикутник вписано круг, а всього вписано правильний п’ятикутник. Знайти відношення площ цих багатокутників.

  3. У коло радіуса R вписано три рівні кола, які дотикаються до зовнішнього кола і попарно одне до одного. Обчислити площу фігури, обмеженої цими трьома колами.

  4. У прямокутній трапеції висота дорівнює 6 м, на бічній стороні (не перпендикулярній до основ), як на діаметрі, побудовано коло так, що воно дотикається до протилежної сторони трапеції. Обчислити площу прямокутного трикутника, у якого катети дорівнюють основам трапеції.

  5. Діагональ BD чотирикутника ABCD є діаметром описаного навколо нього кола. Знайти довжину діагоналі АС, якщо BD=2 м, АВ=1 м, кут ABD відноситься до кута DBC як 4 до 3.

  6. Дано трапецію з основами а і b. Знайти довжину відрізка MN, який з’єднує бічні сторони трапеції і паралельний до основ та ділить площу трапеції навпіл.

  7. Коло, проведене на основі AD трапеції ABCD як на діаметрі, проходить через середини бічних сторін АВ і СD трапеції та дотикається до основи ВС. Знайдіть кути трапеції.

  8. У паралелограмі зі сторонами а і b і гострим кутом α проведені бісектриси чотирьох кутів. Знайти площу чотирикутника, вершинами якого служать точки перетину бісектрис.

  9. У трикутнику АВС на стороні ВС взято точку D так, що BD:DC=2:1. На стороні АС взято точку Е так, що АD і ВЕ перетинаються в точці О і ВО:ОЕ=3:1. Знайти відношення відрізків АЕ до ЕС.

  10. З кінців сторони трикутника 10 см проведено дві медіани довжиною 9 см і 12 см. Знайти дві інші сторони трикутника.

  11. Знайдіть площу трикутника, сторони якого утворені медіанами трикутника з площею S.

  12. Дано дві сторони трикутника а, с. Знайти третю сторону цього трикутника, якщо його площа дорівнює 0,4ас.

  13. У трапеції проведено діагоналі, які утворюють трикутник площею S1 та площею S2 при нижній основі трапеції. Знайти площу трапеції.

  14. У коло вписано чотирикутник MNPQ, діагоналі якого взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці ^ F. Пряма, що проходить через точку F і середину сторони NP, перетинає сторону MQ в точці Н. Знайдіть кут між прямими FH та MQ.

  15. У коло радіуса R вписано трикутник з кутами 150 і 600. Знайти площу цього трикутника.

  16. Сума кутів при більшій основі трапеції дорівнює 900. Основи трапеції рівні a та b. Знайти довжину відрізка, що сполучає середини основ трапеції.

  17. Точка дотику кола вписаного в прямокутний трикутник ділить гіпотенузу на дві частини m і n. Знайти площу даного трикутника.

  18. У трикутнику АВС величини кутів В і С дорівнюють по 400. Довести, що ВС=BD+BA, якщо BD – бісектриса цього трикутника.

  19. Дано два мимобіжні відрізки AB і CD. Знайти геометричне місце середин відрізків, які з’єднують кожну точку одного відрізка з кожною точкою іншого.

  20. Чи можуть чотири площини поділити простір на 11 частин?

  21. Довести, що сума відстаней від будь-якої точки простору до всіх вершин куба з ребром а не менша від 4а.

  22. Довести, що не існує прямокутного паралелепіпеда, довжина діагоналі якого виражається натуральним числом, а довжини ребер – трьома послідовними натуральними числами.

  23. Площа перерізу куба, що має форму правильного шестикутника, дорівнює Q. Знайти повну поверхню куба.

  24. Діагоналі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють а, b, с. Знайти повну поверхню паралелепіпеда.

  25. Два правильні п’ятикутники ABCDE та AEKPL розміщені у просторі так, що кут DAK дорівнює 600. Визначити кут між площинами ACK та BAL.

Розділ 7. Похідна та її застосування

  1. Обчислити найменше ціле значення параметра а, при якому функція у = х3 + ах2 + х + 1 зростає на всій числовій осі.

  2. Обчислити найбільше ціле значення параметра а, при якому функція у = ах3 + 2х2х + 10 спадає на всій числовій осі.

  3. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція у=2х3–3(а+22 + 48ах + 6х – 5 зростає на всій числовій осі.

  4. Обчислити найменше ціле значення параметра а, при якому функція у = еах + ах зростає на всій числовій осі.

  5. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція у = cos х ах b спадає на всій числовій осі.

  6. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція зростає, якщо х>0.

  7. Знайти найменше і найбільше значення функції y=f(x) на заданому проміжку:

    1. , якщо х є [–1;1];

    2. , якщо х є [–1;3];

    3. , якщо х є [9;243];

    4. , якщо х є [;32].

  1. Дослідити на монотонність та екстремум функцію:

    1. ;

  1. Знайти критичні точки функції:

9.1. .

9.2. .

Знайти число, куб якого перевищує потрійний його квадрат на мінімальне значення.

  1. Знайти додатне число, сума якого зі своєю оберненою величиною мала би найменше значення.

  2. На сторінці книги друкований текст новин повинен займати S см2. Поля вгорі та знизу повинні мати по а см, а ліворуч і праворуч – по b см. Обчислити най економніші розміри сторінки паперу.

  3. Дано рівносторонній трикутник зі стороною а. Знайти довжину найменшого відрізка, який сполучає точки двох сторін цього трикутника і ділить трикутник на дві рівновеликі частини.

Графіки функцій

Побудувати графіки функцій:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .









Схожі:

Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання до архіву задач для проведення IV всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ р а
Матеріал запропонований методичним об’єднанням викладачів математики внз І-ІІ рівнів акредитації Полтавської області
Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання до архіву задач для проведення V всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ р а
Матеріал запропонований методичним об’єднанням викладачів математики внз І-ІІ рівнів акредитації Полтавської області
Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання до архіву задач для проведення третьої Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ р а
Матеріал запропонований методичним об’єднанням викладачів математики внз І-ІІ рівнів акредитації Херсонської області
Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання для поповнення архіву Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації чернівецька область
Завдання для поповнення архіву Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації
Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання для поповнення архіву Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації

Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання до архіву задач для проведення Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ р а

Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання для всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз I-II рівнів акредитації
Знайти всі значення параметра а, для яких менший корінь рівняння , задовольняє нерівності 
Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconЗавдання для поповнення банку типових задач Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ р а

Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconБазовий технічний коледж Тернопільського національного технічного університету імені Івана Пулюя
Оргкомітету Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації
Завдання до архіву задач для проведення всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації iconБазовий технічний коледж Тернопільського національного технічного університету імені Івана Пулюя
Оргкомітету Всеукраїнської олімпіади з математики серед студентів внз І-ІІ рівнів акредитації
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи