Квадратичные формы и их применения определение
Скачати 88.92 Kb.
|
| КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Определение. Квадратичной формой  переменных  ,принимающих числовые значения , называется числовая функция вида    ,где  - числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.Определение. Матрицей квадратичной формы переменных , называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в  ой строке  ом столбце, равен половине коэфициента при  в квадратичной форме.Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде  где  матрица квадратичной формы и  .Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэфициенты  при  , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно  .,где не все коэффициенты  равны нулю.Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны  .Определение. Квадратичная форма  называется положительно (отрицательно) определённой, если  при всех 108  и положительно (отрицательно) полуопределённой,если  при всех  .Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобы Здесь  -угловые миноры матрицы квадратичной формы.Следствие. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:  Примеры1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование  . Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие  , и дополним их до полного квадрата:  .Сделаем в этом выражении замену  и подставим его в квадратичную форму. Получим: . Далее выделим в  члены, содержащие  и проделаем с ними анало-гичную процедуру:  Если положить  , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также  , тогда 109 канонический вид квадратичной формы есть  .Соответствующее преобразование от переменных  к переменным  имеет вид: .2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:  . Решение. В исходном базисе  матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть .Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе  , составленном из собственных векторов матрицы  . Найдем их. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид .Откуда следует  и  .Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений  .Для случая  имеем:  . 110 Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно  ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.Как видно из данной системы, величина  принимает произвольные значения, а величины  связаны соотношением  . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы  Эти векторы ортогональны:  (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор  к тому же и нормирован. Откуда следует -  . Нормируем теперь вектор :  .Для случая  уравнение, определяющее собственный вектор есть  . Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например,  Отнормируем этот вектор:  .Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:  . 111 Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид  .При этом переменные  связаны с переменными соотношением или 3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду  .Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму  . Это три первых слагаемых уравнения  .Матрица квадратичной формы равна  . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид .Его корни таковы:  . Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора  , соответствующего  , имеем 112  В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде .Анологичная процедура для собственного вектора  даёт:  Откуда:  .После нормировки полученных векторов имеем:  .Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду  , есть Связь старых  и новых  координат определяется соотношением  .Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду 113  Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат  ,которая получается из исходной её поворотом на угол  и переносом начала координат в точку  . ЗадачиЗаписать матрицу квадратичной формы: 5.1.  ;5.2.  ;5.3.  ;5.4.  ;5.5.  ;5.6.  ;5.7.  ;5.8.  ;5.9.  ;5.10.  ;5.11.  .Найти ранг квадратичной формы: 5.12.  ;5.13.  ;5.14.  ;114 5.15.  ;5.16.  ;5.17.  ;5.18.  ;5.19.  ;5.20.  .Записать квадратичную форму в матричном виде: 5.21.  ;5.22.  ;5.23.  ;5.24.  ;5.25.  ;5.26.  ;5.27.  ;5.28.  ;5.29.  ;5.30.  .Записать квадратичную форму в виде  по заданной матрице : 5.31.  ; 5.32.  ;5.33.  ; 5.34.  ; 115 5.35.  ; 5.36.  ;5.37.  ; 5.38.  ;5.39.  ; 5.40.  .Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование: 5.41.  ;5.42.  ;5.43.  ;5.44.  ;5.45.  ;5.46.  ;5.47.  5.48.  5.49.  5.50.  5.51.  ;116 5.52.  . Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий кано- нический вид квадратичной формы: 5.53.  ;5.54.  ;5.55.  ;5.56.  ;5.57.  ;5.58.  ;5.59.  ;5.60.  ;5.61.  ;5.62.  .Записать данное уравнение второго порядка в матричном виде и определить, фигуру какого типа (эллиптического, гиперболическо- го, параболического) оно определяет: 5.63.  5.64.  5.65.  5.66.  5.67.  5.68.  5.69.  5.70.  5.71.  5.72.  117 5.73.  5.74.  .Построить в прямоугольной системе координат Оху (O;i,j) фигуру, определяемую данным уравне-нием, предварительно приведя его к каноническому виду: 5.75.  5.76.  5.77.  5.78.  5.79.  5.80.  5.81.  5.82.  5.83.  5.84.  .Каждую из квадратичных форм исследовать на знакоопределённость 5.85.  5.86.  5.87.  5.88.  5.89.  5.90.  5.91.  5.92.  5.93.  ;5.94.  118 5.95.  ; 5.96.  .119 |
Схожі:
 | Согласовано ... | | Перевальский профессиональный горный лицей Соленая Нина Николаевна Представляет разработанные комплексы упражнений профессионально- прикладной физической подготовки, формы и методы их применения на... |
| Методические рекомендации о правовом обеспечении контрактной формы трудового договора и сферы его применения В условиях перехода к рыночной экономике основой правового регулирования труда становятся индивидуально-договорной и коллективно-договорной... | | 1. Наименование опыта, указание его адреса и Четкое определение наименования опыта. Уже в самом наименовании материала должна быть четко отражена основная характеристика опыта... |
| Документи 1. /Квадратичные неравенства.docx | | Начало формы Конец формы Вводиться в дію Постановою вр n 2461-xii ( 2461-12 ) від 16. 06. 92, Ввр, 1992, n 34, ст. 505 } |
| Начало формы Конец формы | | Начало формы Конец формы |
| Начало формы Конец формы | | Книга на сайте: Определение этноса Есть ещё определение из «Малой энциклопедии этногосударствоведения»: «Этнос стабильный коллектив людей, который сложился в результате... |