Скачати 88.92 Kb.
|
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Определение. Квадратичной формой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Определение. Матрицей квадратичной формы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде ![]() ![]() ![]() Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэфициенты ![]() ![]() ![]() ![]() где не все коэффициенты ![]() Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны ![]() Определение. Квадратичная форма ![]() (отрицательно) определённой, если ![]() 108 ![]() ![]() ![]() Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма ![]() ![]() Здесь ![]() Следствие. Для того чтобы квадратичная форма ![]() ![]() Примеры1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование ![]() Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие ![]() ![]() Сделаем в этом выражении замену ![]() ![]() Далее выделим в ![]() ![]() ![]() Если положить ![]() ![]() 109 канонический вид квадратичной формы есть ![]() Соответствующее преобразование от переменных ![]() ![]() ![]() 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы: ![]() Решение. В исходном базисе ![]() ![]() Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе ![]() ![]() Характеристическое уравнение для матрицы ![]() ![]() Откуда следует ![]() ![]() Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений ![]() Для случая ![]() ![]() ![]() 110 Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ![]() Как видно из данной системы, величина ![]() ![]() ![]() ![]() Эти векторы ортогональны: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для случая ![]() ![]() ![]() Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, ![]() ![]() Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования: ![]() 111 Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид ![]() При этом переменные ![]() ![]() ![]() ![]() 3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду ![]() Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму ![]() ![]() Матрица квадратичной формы равна ![]() ![]() Его корни таковы: ![]() Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора ![]() ![]() 112 ![]() В итоге собственный вектор, соответствующий ![]() ![]() Анологичная процедура для собственного вектора ![]() ![]() Откуда: ![]() После нормировки полученных векторов имеем: ![]() Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму ![]() ![]() ![]() Связь старых ![]() ![]() ![]() Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду 113 ![]() ![]() ![]() ![]() ЗадачиЗаписать матрицу квадратичной формы: 5.1. ![]() 5.2. ![]() 5.3. ![]() 5.4. ![]() 5.5. ![]() 5.6. ![]() 5.7. ![]() 5.8. ![]() 5.9. ![]() 5.10. ![]() 5.11. ![]() Найти ранг квадратичной формы: 5.12. ![]() 5.13. ![]() 5.14. ![]() 114 5.15. ![]() 5.16. ![]() 5.17. ![]() 5.18. ![]() 5.19. ![]() 5.20. ![]() Записать квадратичную форму в матричном виде: 5.21. ![]() 5.22. ![]() 5.23. ![]() 5.24. ![]() 5.25. ![]() 5.26. ![]() 5.27. ![]() 5.28. ![]() 5.29. ![]() 5.30. ![]() Записать квадратичную форму в виде ![]() матрице : 5.31. ![]() ![]() 5.33. ![]() ![]() 115 5.35. ![]() ![]() 5.37. ![]() ![]() 5.39. ![]() ![]() Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование: 5.41. ![]() 5.42. ![]() 5.43. ![]() 5.44. ![]() 5.45. ![]() 5.46. ![]() 5.47. ![]() 5.48. ![]() 5.49. ![]() 5.50. ![]() 5.51. ![]() 116 5.52. ![]() Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий кано- нический вид квадратичной формы: 5.53. ![]() 5.54. ![]() 5.55. ![]() 5.56. ![]() 5.57. ![]() 5.58. ![]() 5.59. ![]() 5.60. ![]() 5.61. ![]() 5.62. ![]() Записать данное уравнение второго порядка в матричном виде и определить, фигуру какого типа (эллиптического, гиперболическо- го, параболического) оно определяет: 5.63. ![]() 5.64. ![]() 5.65. ![]() 5.66. ![]() 5.67. ![]() 5.68. ![]() 5.69. ![]() 5.70. ![]() 5.71. ![]() 5.72. ![]() 117 5.73. ![]() 5.74. ![]() Построить в прямоугольной системе координат Оху (O;i,j) фигуру, определяемую данным уравне-нием, предварительно приведя его к каноническому виду: 5.75. ![]() 5.76. ![]() 5.77. ![]() 5.78. ![]() 5.79. ![]() 5.80. ![]() 5.81. ![]() 5.82. ![]() 5.83. ![]() 5.84. ![]() Каждую из квадратичных форм исследовать на знакоопределённость 5.85. ![]() 5.86. ![]() 5.87. ![]() 5.88. ![]() 5.89. ![]() 5.90. ![]() 5.91. ![]() 5.92. ![]() 5.93. ![]() 5.94. ![]() 118 5.95. ![]() 5.96. ![]() 119 |
![]() | Согласовано ... | ![]() | Перевальский профессиональный горный лицей Соленая Нина Николаевна Представляет разработанные комплексы упражнений профессионально- прикладной физической подготовки, формы и методы их применения на... |
![]() | Методические рекомендации о правовом обеспечении контрактной формы трудового договора и сферы его применения В условиях перехода к рыночной экономике основой правового регулирования труда становятся индивидуально-договорной и коллективно-договорной... | ![]() | 1. Наименование опыта, указание его адреса и Четкое определение наименования опыта. Уже в самом наименовании материала должна быть четко отражена основная характеристика опыта... |
![]() | Документи 1. /Квадратичные неравенства.docx | ![]() | Начало формы Конец формы Вводиться в дію Постановою вр n 2461-xii ( 2461-12 ) від 16. 06. 92, Ввр, 1992, n 34, ст. 505 } |
![]() | Начало формы Конец формы | ![]() | Начало формы Конец формы |
![]() | Начало формы Конец формы | ![]() | Книга на сайте: Определение этноса Есть ещё определение из «Малой энциклопедии этногосударствоведения»: «Этнос стабильный коллектив людей, который сложился в результате... |