Матрицы, определители, системы линейных уравнений icon

Матрицы, определители, системы линейных уравнений




Скачати 60.32 Kb.
НазваМатрицы, определители, системы линейных уравнений
Дата конвертації21.02.2014
Розмір60.32 Kb.
ТипДокументи

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ





ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:



Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

^ Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.



Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .


^ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу ^ B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице ^ A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.





Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,



или



Примеры. Найти сумму матриц:

  1. .

  2. - нельзя, т.к. размеры матриц различны.

  3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному ^ A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:





  1. .

Примеры.

  1. .

  2. Найти 2A-B, если , .

.

  1. Найти C=–3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице ^ C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

  1. Пусть

Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.



  1. Найти произведение матриц.

.

  1. .

  2. - нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.

  3. Пусть

Найти АВ и ВА.





Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙BB∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы ^ A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.


^ ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

^ Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.



  1. .

  2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и



Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

^ Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

  1. .

  2. .

  3. Решите уравнение..

.

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

x1 = 4, x2 = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.







Схожі:

Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconРешение систем линейных уравнений по методу Крамера. Пример
Обратная матрица. Решение систем линейных неоднородных уравнений методом обратной матрицы
Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconРешение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы
...
Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconРешение системы линейных уравнений методом итераций

Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconСистемы линейных уравнений
В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот...
Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconУрок №39 за 3 февраля 2011 года
Цели и задачи урока: закрепить различные способы решения систем уравнений второй степени с двумя неизвестными, развивать умение анализировать...
Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconВычисление уравненных параметров и элементов сети триангуляции
В результате решения системы нормальных уравнений получили поправки к приближенным значениям параметров
Матрицы, определители, системы линейных уравнений icon«Моделирование, управление и устойчивость (mcs-2012)»
Тематика конференции включает (но не исчерпывается) следующие направления: математические модели в экономике, управление и стабилизация...
Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconРешение логарифмических уравнений и неравенств. Усердие всё превозмогает. Цели урока
Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков при решении логарифмических уравнений и неравенств
Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconРуководство для изучения работы и функций системы. Проинструктируйте всех пользователей системы
Предупреждение : Это руководство содержит информацию об использовании системы и её функционировании и об ограниченной ответственности...
Матрицы, определители, системы линейных уравнений iconДокументи
1. /Платежные системы/2009-2010_Литература.doc
2. /Платежные...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи