Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета icon

Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета




Скачати 137.98 Kb.
НазваТема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета
Дата конвертації09.08.2013
Розмір137.98 Kb.
ТипДокументи

ТЕМА. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь.

МЕТА: ввести поняття квадратного рівняння, неповного квадратного рівняння;

формувати уміння розв’язувати неповні квадратні рівняння;

розвивати логічне мислення, уважність і самостійність.

ДЕВІЗ: Думай і роби, роби і думай.

І.А.Крилов.

ЕПІГРАФ: Ніколи не втрачай терпіння – це останній ключ,що відкриває двері.

А. де Сент-Екзюпері.

Хід уроку

І. Вступне слово вчителя.

Загадкове, нам знайоме,

В ньому є щось невідоме,

Його треба розв’язати,

Тобто корінь відшукати.

Кожен легко, без вагання

Відповість, що це ….

(Рівняння )

Ви повинні зрозуміти, яке важливе значення мають квадратні рівняння. Їх уміли розв’язувати ще 4 тисячі років тому вавилонські математики. Згодом їх почали розв’язувати в Китаї та Греції.


ІІ. Виклад нового матеріалу.

ax=b, де x-змінна a і b-параметри

Якщо а≠0, то рівняння ax=b називають рівнянням першого степеня. Наприклад: 2х=3; 3х=0.

Параметри a і b називають коефіцієнтами рівняння першого степеня ax=b.

Рівняння першого степеня має завжди один корінь. Ви також умієте розв’язувати деякі рівняння, які містять змінну в другому степені: х2-1=0, х2+5х=0, х2-2х+1=0.

Усі вони мають вигляд ax2+bx+c=0.

Означення. Квадратним рівнянням називають рівняння виду ax2+bx+c=0,

де х-змінна, a, b, c параметри, причому а≠0.

Параметри a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння.


Параметр a називають першим або старшим коефіцієнтом; параметр b- другим коефіцієнтом; параметр с- вільним членом.

-2х2+5х+3=0- а=-2; b=5; с=3.

х2-4х+4=0- а=1; b=-4; с=4.

2+2х-3=0- а=5; b=2; с=-3.

х2-6х+9=0- а=1; b=-6; с=9.

Квадратне рівняння, перший член якого дорівнює 1 називають зведеним.

ax2+bx+c=0 завжди можна перетворити у зведене розділивши обидві частини рівняння на а.

х2+х+=0

Якщо у квадратному рівнянні ax2+bx+c=0 хоча б один з коефіцієнтів b або с =0, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.

Існують три види неповних квадратних рівнянь:

  1. при b=c=0 маємо ах2=0.

  2. при с=0 і b≠0 маємо ах2+bх=0.

  3. при b=0 і с≠0 маємо ах2+с=0.

1.Оскільки а≠0, то рівняння має єдиний корінь х=0

2=0,

х2=0,

х=0.

2. Рівняння ах2+bх=0, х(ах+b)=0

Звідси

х1=0; х2=-.

2+5х=0,

х(3х+5)=0,



Відповідь: х=0; х=-1.

3. ах2+с=0

х2=-, оскільки с≠0, то можливі два випадки:

-<0 або ->0



коренів немає

х1=; х2=-;


2-12=0,

2=12,

х2=4,

х1=2, х2=-2.

Отримані результати підсумовує така таблиця.

Значення коефіцієнтів b і с

Рівняння

Корені

b = c = 0

ax2 = 0

x = 0

b ≠ 0, c = 0

ах2 + bх = 0

х1 = 0; х2 = -

b = 0, -<0

ах2 + c = 0

коренів немає

b = 0, ->0

ах2 + c = 0

х1=; х2=-;


ІІІ. Розв’язування неповних квадратних рівнянь.

№32.1 усно ( 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10).

№ 32.2 1) 6х2 + 7х + 2=0; 2) х2 – 8х - =0; 3)7,2х2 – 2х =0.

№32.6 1) х2-5х+34=0; 2) 2х2+6х+8=0, х2+3х+4=0; 3)х2+х-5=0∕ 3, х2+3х-15=0;

  1. 16-6х+х2=0; 5) –х2+8х-7=0, х2-8х+7=0; 6)-0,2х2+0,8х+1=0, х2-4х-5.

№32.8

Розв’язування рівнянь, що зводяться до неповних квадратних рівнянь

№32.10, 32.14.

. Розв’язування неповних квадратних рівнянь з параметрами:

а) mx2-8x=0, якщо m=0 , то -8х=0, х=0.

якщо m≠0, то mх(х-)=0, х=0 або х-=0, х=.

Відповідь: х=0, якщо m=0;

х=0 або , х=, якщо m≠0.

№32.17(1), 32.22(1)


. Розв’язування неповних квадратних рівнянь з модулями:

№32.27


ІV. Підсумок уроку

Запитання на сторінці 227.


V. Домашнє завдання: п.32 №32.7, 32.11, 32.5, 32.28(1,2).


ТЕМА. Формула коренів повного квадратного рівняння.

МЕТА: вивести формулу для розв’язування квадранних рівнянь;

формувати вміння знаходити дискримінант і корені квадратного рівняння;

розвивати логічне мислення, культуру записів.

^ ДЕВІЗ: Не опускайте рук, займайтесь математикою, і ви прозрієте душею…

М.П.Кравчук

ЕПІГРАФ: Початок є—кінця пізнанню немає!

К.Левітін.

^ Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Незакінчене речення

  1. Лінійним називають рівняння виду…

  2. Рівнянням першого степеня називають…

  3. Квадратним рівнянням називають рівняння виду…

  4. Число a називають…

  5. Число b називають…

  6. Зведеним називають квадратне рівняння…

  7. Неповним називають квадратне рівняння…

  8. Число с називають…

  9. Існують … види неповних квадратних рівнянь

  10. Рівняння першого виду має вигляд… і такі корені….

  11. Рівняння другого виду має вигляд… і такі корені….

  12. Рівняння третього виду має вигляд… і такі корені….

Серед рівнянь 1) 11х2=121, 2) х2-3х=0, 3) х2=8х-16, 4) х2-3х=-11

Назвати ті, що

а) є повними квадратними рівняннями і назвати коефіцієнт;

б) є неповними квадратними рівняннями;

в) назвати розв’язки першого і другого рівнянь.


ІІІ. Розв’язування вправ.

Робота в парах: один учень – «спеціаліст», другий- «рецензент». Потім учні міняються ролями.

Завдання учням:

Розв’язати рівняння:

а) ; а);

б)(5х+1)2=10(х-2). б) (3х+2)2=12(х-1).


ІV. Мотивація навчальної діяльності.

Ми вже навчилися розв’язувати неповні квадратні рівняння, але ви знаєте, що існують ще й повні квадратні рівняння. Їх зазвичай розв’язують за формулою, яку можна також використати і для неповних квадратних рівнянь, а також рівнянь з параметрами.

Розв’язуванню квадратних рівнянь відомий український математик, професор Микола Чайковський (1887-1970) присв’ятив свої праці. Він протягом тривалого часу працював у вищих закладах Кам’янця-Подільського,

Львова, Одеси. М.Чайковський зробив вагомий внесок у створенні української наукової термінології з математики,а також брав активну участь у виданні українських підручників з математики.


^ V. Сприйняття і усвідомлення виведення формули повного квадратного рівняння.

Перед тим як вивести формулу коренів повного квадратного рівняння, розглянемо кілька підготовчих вправ.

1.У квадратному рівнянні назвати коефіцієнти а,b,c.

а)9х2+6х+1=0; б)х2-4х+4=0; в)2х2+18=0; г)х2+24х=0.

2. Подати у вигляді квадрата двочлена вираз:

а) х2-6х+9; б)4х2+20х+25; в) 16х2+8х+1.

3. Розв’язати рівняння: 9х2-12х+4=0.


VІ. Виведення формули коренів квадратного рівняння.

ах2+bх+с=0, оскільки а≠0, то помножимо обидві частини цього рівняння на 4а, отримаємо рівняння рівносильне даному:

2х2+4ахb+4ас=0

Виділимо в лівій частині квадрат двочлена

(2ах)2+2∙2∙ах∙b+b2-b2+4ас=0;

(2ах+b)2=b2-4ас.

Вираз b2-4ас називають дискримінантом квадратного рівняння ах2+bх+с=0 і позначають D.

D= b2-4ас

Термін «дискримінанат» походить від латинського discriminare, що означає «розрізняти», «розділяти».

(2ах+b)2=D.

Можливі три випадки : D<0, D=0, D>0.

  1. Якщо D<0, то квадратне рівняння коренів немає.

  2. Якщо D=0, то (2ах+b)2=0, звідси 2ах+b=0, х=-.

Квадратне рівняння має один корінь : х=-.

  1. Якщо D>0, то 2ах+b=()2, звідси 2ах+b=- або 2ах+b=, тоді

х= або х= .

Рівняння має два корені: х1= або х2= .

Щоб рівняння розв’язати,

Треба формули всім знати.

Ще й знайти дискримінант-

Не ховайте свій талант.


Якщо він у вас додатний,

То два розв’язки знайдеш

Зможеш точно розв’язати,

Шляхом правильним підеш


Якщо нуль – усе простіше:

Один корінь шукай швидше.

А якщо дискримінант

Має ще від’ємний знак,

То роботі вже кінець

Зовсім розв’язків немає

А ти – учень-молодець.

Робота з підручником (ст.232)


^ VII. Застосування формули у стандартній ситуації.

Розв’язати рівняння:

а) 3х2+4х+1=0; б) 5х2+2х+3=0; в) 8х2+4х+0.5=0.

Робота з підручником( якщо другий коефіцієнт подати у вигляді 2k)

Розв’язати рівняння 5х2-16х+3=0, (х1=0,2; х2=3).

№33.4 (другий стовпчик)

№33.8 (5)

№33.10 (1,2)

№33.20, 33.12.


VIIІ. Підсумок уроку.

ІХ. Домашнє завдання : п.33, №33.5 (другий стовпчик), 33.9. 33.11, 33.13.


Тема. Розв’язування квадратних рівнянь. Самостійна робота.

Мета. Закріпити навики по розв’язуванню повних квадратних рівнянь застосовуючи формулу коренів квадратного рівняння, перевірити ,як учні навчилися застосовувати формули коренів квадратного рівняння.

^ Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання ( за зразком на дошці).

Який вираз називають дискримінантом квадратного рівняння?

Як залежить кількість коренів квадратного рівняння від знака дискримінанта?

Запишіть формулу коренів квадратного рівняння.

Яким алгоритмом зручно користуватися при розв’язуванні квадратних рівнянь?

ІІ. Розв’язування рівнянь.

№33.10(3), 33.18, 33.29(1,4), 33.24. 33.31(1,2), 33.33(1),33.35(1).

ІІІ. Самостійна робота.

Варіант 1.

  1. Розв’язати рівняння:

а) 5х2-20=0; х2+7х=0; х2+25=0;

б) (2х-7)2-7(7-4х)=0;

в) (3х-1)2-(3х-1)=0.

2. Розв’язати рівняння:

а) х2+5х-14=0; 3у2-3у+4=0; 25х2+60х+36=0 ( скориставшись формулою коренів квадратного рівняння);

б) ( 2х-1)(4х2+2х+1)-(2х+5)(4х2-7)=27+х2;

в) + =0.

Варіант 2.

1.Розв’язати рівняння:

а) 3х2-27=0; х2-х=0; х2+36=0;

б) (х-5)2-5(2х-1)=0;

в) (2х-3)2-2(2х-3)=0.

2. Розв’язати рівняння:

а) х2-14х+40=0; 12у2+у+6=0; 4х2+4х+1=0 ( скориставшись формулою коренів квадратного рівняння);

б) ( 3х-1)(2х2+х-3)-(3х+4)(2х2-х-5)=х+26;

в) +=0.


ІV. Підсумок уроку.


^ V. Домашнє завдання.№ 33.30(1-6); 33.32; 33.34; 33.36.


Тема.Теорема Вієта.

Мета: Ввести теорему Вієта пряму і обернену. Формувати уміння застосовувати теореми при розв’язуванні квадратних рівнянь.Вчити складати рівняння за його коренями.Формувати логічне мислення.Створювати умови для розвитку творчої особистості.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність домашнього завдання перевіряють чергові.

2. Виберіть правильну відповідь:

Завдання Відповіді

а) 4х2-19х+12=0; 1. 4; -2.

б) 10х2-53х+15=0; 2. 8; 2.

в) 1,5у(3у-15)=27; 3. 0; 13.

г) 6х(5-)=48; 4. 4; 0.75.

д) х(7-х)=5х-8; 5. 3; -4,5.

е) 2х(3х+4)=4х2+5х+27; 6. 5; 0.3.

є) (х-5)2=3х+25. 7. 6; -1.

8. 3; 2.

9.-3; 2.

ІІ. Вивчення нового матеріалу.

  1. Історичні відомості про Вієта.

Франсуа Вієт народився в 1540 р. в невеликому французькому місті Фонтеней. За професією Вієт був адвокатом, але його справжнім покликанням була математика. Захопившись якою-небудь математичною задачею він міг працювати над нею іноді три доби підряд без їжі і сну.

Вієт розробив і послідовно застосував у своїх працях буквенну символіку. Дуже важливо, що він почав вивчати не числа, а дії над ними. Це дало можливість записувати алгебраїчні вирази у вигляді формул.

Алгебраїчна символіка Вієта значно відрізняється від сучасної. Наприклад,замість сучасного х3 він писав: A cubus. Але запровадження навіть такої символіки дало можливість Вієту зробити важливі відкриття в математиці.

В останні роки свого життя Вієт був радником французьких королів Генріха ІІІ і Генріха ІV. Помер він у Парижі в 1603 р.

Під час війни Франції з Іспанією іспанці застосували для таємного листування дуже складний шифр. Король Франції Генріх ІV звернувся по допомогу до Вієта. Який через два тижні розгадав цей шифр.

Іспанці зрозуміли, в чому справа, лише тоді, коли раз у раз почали зазнавати невдач. Іспанські інквізитори,вважаючи,що людина не могла розшифрувати такий складний шифр, звинуватили Вієта у спілкуванні з нечистою силою і засудили його до спалювання на вогнищі. На щастя, Вієта не видали «священним « катам.

  1. Повторення про зведені квадратні рівняння.

х2+рх+q=0, запам’ятати формулу коренів зведеного квадратного рівняння допоможе вірш:


Взявши «р» з зворотним знаком,

Ми на два його поділим,

І від кореня, що йде далі,

знаком мінус – плюс відділим.

А під корнем треба взяти

Половину «р» в квадраті

Мінус «q »- ось розв’язання

Невеликого рівняння.

  1. Формулювання і доведення теореми.

Теорема 34.1 (теорема Вієта) Якщо х1 і х2 – корені квадратного рівняння

ax2+bx+c=0, то

х1 + х2 = - ; х1 х2 = .

Доведення. Очевидно,що дискримінант D даного рівняння не може бути від’ємним. Нехай D>0. Застосовуючи формулу коренів квадратного рівняння, запишемо: х1= , х2= .

Маємо: х1 + х2= + =;

х1 х2==.

Наслідок. Якщо х1 і х2 – корені зведеного квадратного рівняння х2+bх+с=0, то


х1 + х2=-b, х1 х2=с,

тобто сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Приклад. х2-5х+6=0, х1 + х2=5, х1 х2=6.

Будь же гідно оспівана ти у віршах поета –

Про властивості коренів, теоремо Вієта.

Що є краще постійності, незалежно від часу,-

Лиш помножиш ти корені – й дріб готовий відразу:

У чисельнику с , у знаменнику а.

Додати ж їх – сума також дробова,

Хоч і з мінусом дріб,

Та яка в цім біда,-

У чисельнику b, а в знаменнику а.

4. Робота з підручником ( обернена теорема, наслідок), самостійно.

Приклад 1-4.


ІІІ. Розв’язування рівнянь.

№34.1, 34.4-усно

№34.3

№34.6, 34.8, 34.10,34.12, 34.14.


ІV. Підсумок уроку.

Яке з рівнянь є зведене квадратне рівняння:

а) 0,1х2+х-5=0; б) х2-7х+3=0?

Чи тотожні рівняння: 5х2-10х+25=0 і х2-2х+5=0?

Вкажіть корені рівняння, користуючись теоремами Вієта (не розв’язуючи рівняння ) :

а) х2-4х+3=0; б) х2+4х-5=0.

^ V. Домашнє завдання : п.34, № 34.3, 34.5, 34.7, 34.9, 34.11.


Тема. Теорема Вієта. Розв’язування вправ.

Мета. Формувати в учнів уміння використовувати теореми Вієта для розв’язування квадратних рівнянь та складання рівнянь за його коренями. Формувати логічне мислення. Повторити і звести в систему матеріал, опрацьований на попередніх уроках, підготувати учнів до контрольної роботи. Формувати навички самостійної діяльності.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

№34.3 (так, ні, ні, ні); №34.5 1) b=-(-2+0.5)=1,5; с=-1; 2) b=-(-30)=30; с=200.

№34.7 1)х2+15х+56=0; 2)х2-4,6х-2=0; 10х2-46х-20=0; 5х2-23х-10=0;

3)х2-=0; 6х2-7х+2=0.

№34.9 За теоремою Вієта х1х2=-42; х12=-р; 7х2=-42; 7-6=1; х2=-6; р=-1.

№34.11 х2-1,4х++0; х12=1,4; -0,2+х2=1,4; х2=1,6; =-0,2∙1,6; m=-1,28.

Запитання на ст.245.


ІІ. Розв’язування квадратних рівнянь

№34.18 х1 + х2=10, х1 х2=с, нехай один корінь х, а другий х-8, маємо

х+х-8=10; 2х=18; х1=9; х2=1, тоді 9∙1=с.

№34.22(1) За теоремою Вієта х1 + х2=9, х1 х2=6; ;

ІІІ. Самостійна робота.

Варіант 1

  1. а) Не розв’язуючи рівняння,знайти суму і добуток їх коренів:

х2+17х-38=0; 3х2+8х-15=0.

б) Число -12 є коренем рівняння х2+15х+q=0. Знайти значення q і другий корінь рівняння.

в) Числа х1 і х2 є коренями рівняння 2х2-3х+1=0. Не розв’язуючи рівняння,знайти значення виразу х12∙х2 + х1∙х22.

2. Скласти квадратне рівняння, корені якого: а) дорівнюють 4 і 9;

б) дорівнюють 3-√31 і 3+√31;

в) є більшими, ніж відповідні корені рівняння х2+5х-7=0, на 1.


Варіант 2

1.а) Не розв’язуючи рівняння,знайти суму і добуток їх коренів:

х2-17х-38=0; 5х2+4х-1=0.

б) Число 8 є коренем рівняння х2+рх-16=0. Знайти значення р і другий корінь рівняння.

в) Числа х1 і х2 є коренями рівняння х2-5х-12=0. Не розв’язуючи рівняння,знайти значення виразу (х12)2.

2. Скласти квадратне рівняння, корені якого: а) дорівнюють -3 і 8;

б) дорівнюють -5-√2 і -5+√2;

в) є більшими, ніж відповідні корені рівняння 3х2-15х+2=0, у 4 рази.


ІV. Повторення питань теорії.

  1. Формула коренів квадратного рівняння:

а) запишіть формулу;

б) розв’яжіть рівняння: 6х2-5х+1=0; ()

2. Знайдіть корені рівняння за допомогою теореми Вієта: х2+7х+12=0,

( х1 + х2=-7, х1 х2=12, х1=-3, х2=-4)

3.Складіть квадратне рівняння корені якого дорівнюють 3 і 4 ( х2-7х+12=0)

4. Знайдіть q і корінь х2 для рівняння х2+9х+q=0, якщо х1=-2.

( х1 + х2=-9, х1 х2=q, -2+х2=-9; х2=-7. q=(-2)∙(-7)=14.)

V. Розв’язування вправ.

№ 34.24 х1 + х2=-8, х1 х2=-3. Так як корені рівняння менші на 2,то х1-2+х2-2=х12-4=-8-4=-12; (х1-2)(х2-2)=х1х2=2х2-2х1+4=-3+4-2(х12)=1+16=17.

№ 34.26 х2-7х+4,5=0; х1 + х2=7, х1 х2=4,5; ; , тоді

х2-х+0,5=0; 3х2-7х+1.5=0 або 6х2-14х+3=0;

VІ.Підсумок уроку.

Складіть квадратне рівняння, якщо його корені х1=12, х2=-10.


VІІ. Домашнє завдання №34.16, 34.19, 34.21, 34.23. 34.25. 34.27, 34.29.



Схожі:

Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconВідділ освіти виконкому Дзержинського районної ради
Тема уроку: Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Розв’язування задач за допомогою складання рівнянь, що зводяться до квадратних
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconТеорема вієта алгебра, 8 клас
Мета уроку: ознайомити учнів з теоремою Вієта, навчити розв’язувати квадратні рівняння, у яких а+b+с=0 або а-b+с=0; виробити навички...
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconУрок алгебри в 11 класі на тему: «Формування та розвиток критичного мислення під час розв’язування рівнянь вищих ступенів,розв’язки яких зводяться до розв’язування квадратних рівнянь»
Тема уроку : Формування та розвиток критичного мислення під час розв'язування рівнянь вищих степенів, розв'язки яких зводяться до...
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconТема уроку: Рівняння
Учні мають наводити приклади рівнянь, описувати поняття рівняння, розв’язок рівняння, пояснювати, що означає «розв’язати рівняння»,...
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconРозв’язування показникових рівнянь
Мета: продовжувати вчити розв’язувати показникові рівняння використовуючи корені рівнянь, розшифрувати слова в крилатих виразах
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconПрограма для абітурієнтів Одеського ліцею з посиленою військово-фізичною підготовкою з математики Мета іспиту: Виявити та оцінити рівень навчальних досягнень абітурієнтів
Лінійні, квадратні, раціональні рівняння, нерівності та їх системи. Застосування рівнянь, нерівностей та їх систем до розв’язування...
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconТема: Квадратні рівняння Мета: Навчальна: узагальнити і систематизувати знання учнів з теми «Квадратні рівняння»
Навчальна: узагальнити і систематизувати знання учнів з теми «Квадратні рівняння», закріпити вміння та навички учнів розв’язувати...
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconТворча скарбничка учителя математики нвк «знз-днз» с. Лучинчик Білоус Валентини Олександрівни Розробка уроків з теми
Тема: Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння та їх розв’язування
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconУрок з алгебри в 8 класі
Мета: систематизувати знання, вміння І навички учнів стосовно видів І методів розв’язування квадратних рівнянь; перевірити набуті...
Тема. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Мета iconТема: Рівняння. Мета
Мета: Закріплення навичок розв’язування задач за допомогою рівнянь. Розвиток логічної пам’яті, вміння аналізувати умову задачі й...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи