Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” icon

Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ”




Скачати 109.55 Kb.
НазваАлгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ”
Дата конвертації07.03.2014
Розмір109.55 Kb.
ТипУрок

Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д.

Тема: „Застосування похідної до розв‘язування

прикладних задач”

Мета уроку: повторити та узагальнити вивчені раніше відомості про похідну, формувати вміння застосовувати здобуті знання в нестандартних умовах; розвивати навички самостійної пізнавальної діяльності та вміння орієнтуватися в нестандартних ситуаціях.

Тип уроку. Урок узагальнення та систематизації знань.

Обладнання уроку. Презентації задач в форматі Power Point, підручник «Алгебра і початки аналізу» для 11 класу .

Зміст завдань для учнів

  1. Історичні відомості (учні готують інформацію про виникнення математичного аналізу та його розвиток, про біографію та праці її творців тощо).

  2. Застосування похідної до розв'язування фізичних задач.

  3. Застосування похідної до розв'язання прикладних геометричних задач

^ Хід уроку.

I. Організаційний момент.

ІІ. Актуалізація опорних знань

Історичні відомості

(Розповідь супроводжується презентацією)

Наука, що на сьогодні називається математичним аналізом, виникла в працях багатьох видатних математиків ^ XVII століття - спочатку у вигляді окремих теорем та методів розв'язування деяких задач. До кінця XVII століття основні положення цієї нової для того часу науки остаточно оформилися (причому одночасно) в роботах двох найвизначніших учених тієї епохи - англійського фізика та математика Ньютона та німецького математика і філософа Лейбніца.

Виникнення цієї математичної дисципліни не випадково припадає саме на XVII століття. У цю епоху розвиток науки та техніки дійшов тієї межі, коли для подальшого просування вперед необхідно було глибше проникнути у суть речей, вивчити закони природи та процеси, що відбуваються в навколишньому середовищі.

Всі процеси протікають з певною швидкістю, всі величини, що беруть участь у цих процесах, змінюються, причому вони взаємозв'язані. Тому постала необхідність у такому апараті, за допомогою якого можна було б вивчати змінні процеси. Саме такий апарат і був розроблений у математичному аналізі. Таким чином, виникнення математичного аналізу було історично неминучим: цього вимагали потреби механіки, фізики та техніки. У свою чергу, саме ці вимоги були визначені рівнем розвитку виробничих сил суспільства. Проте повне його обґрунтування було дано лише наприкінці XIX століття.

Ключовими поняттями математичного аналізу є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.

Термін „функція" вперше запропонував у 1692 р. видатний німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) для характеристики відношення відрізків, а перше означення функції, яке вже не було пов'язане з геометричними уявленнями, сформулював Йоган Бернуллі (1667-1748) у 1718 р. Уточнив це поняття Леонард Ейлер (1707-1783) і ввів символ функції f(x).

Термін „границя" і відповідний символ lim вперше було введено англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643-1727), а його строге означення сформулював у 1823 р. французький математик Огюстен Луї Коші (1789-1857).

Похідна — одне з фундаментальних понять математики. Відкриттю похідної та основ диференціального числення передували роботи французьких математиків П'єра Ферма (1601—1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних, а також Рене Декарта (1596—1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. У 1670—1671 рр. англійський математик і механік Ісаак Ньютон (1643—1727) і дещо пізніше у 1673—1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716) незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення. І.Ньютон прийшов до поняття похідної, розв'язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц — розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої. Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736—1813). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді та f./. Сам термін «похідна» є перекладом відповідного французького слова derivee, яке досить влучно пояснює зміст цього поняття: функція f'(x) у певному розумінні походить від функції f(x), тобто є похідною від неї. До Лагранжа похідну за пропозицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом і позначали . Позначення Лейбніца чітко відображало саме походження похідної як границі відношення .Тому його часто використовують і в сучасних курсах математичного аналізу. Ньютон, який у своїх підходах до обґрунтування математичного аналізу широко застосовував фізичні уявлення, похідну називав флюксією (дослівно з латини — «витіканням»), а саму функцію флюентною (дослівно «текучістю»). Ці терміни Ньютона не прижилися.

Терміни «диференціальний», «диференційована», «диференціювання» тощо відображають той аспект утворення поняття похідної, що пов'язаний із знаходженням різниць

f(x)-f(x0) =D y та хх0 =Dx (differentia в перекладі з латини означає «різниця»).

Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник «Диференціальне числення» (1755 р.)

^ 2. Усні вправи.

1)Робота в групах (поставити відповідність)

І група



Відповіді



ІІ група



Відповіді



ІІІ група



Відповіді



Знайти похідну функцій.



^ 3) Знайти такі значення m,n і p, щоб виконувалась рівність:




ІІІ Мотивація навчальної діяльності

За допомогою диференціального числення було розв'язано багато задач теоретичної механіки, фізики та астрономії. Зокрема, використовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.

За допомогою цих методів математики у XVIII ст. вивчали властивості різних кривих, знайшли криву, по якій найшвидше падає матеріальна точка, навчилися знаходити кривину ліній.

І тепер поняття похідної широко застосовується у різних галузях науки та техніки.


ІV Повідомлення теми та мети уроку

Учні класу презентують свої презентації по темі та розв’язують задачі

^ Застосування похідної до розв'язання фізичних задач

Учні цієї групи послідовно представляють розв'язання конкретних задач з використанням електронної презентації, решта учнів записують розв’язування задач в робочих зошитах. Коли виникають якісь запитання до ходу розв’язування задачі, учні, які презентують задачу, дають пояснення, якщо в них виникають утруднення, то звертаються за допомогою до аудиторії або вчителя.

Представлення задач учнями

1. Центральні поняття диференціального числення - похідна та диференціал. Операцію знаходження похідної називають диференціюванням.

Задача на знаходження миттєвої швидкості нерівномірного руху за відомою залежністю координати х від часу розв'язується так:

)

(

)

(

/

t

s.

t





похідною від координати є швидкість;

a(t)=u /(t)=:s //(t) похідна від швидкості за часом є прискорення.

Таким чином, прискорення - друга похідна від координати за часом.

Задача 1. Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно за законом s(t)=t 2+t+l. Координата вимірюється в метрах, час t - в секундах. Знайти:

а) діючу силу; б) кінетичну енергію тіла через 2 с після початку руху.


^ Дано:

s(t)=t
2+t+1

m=2кг

t=2c

F -? E–?
Розв’язання

;

при t= 2c,

;



Відповідь: 4 Н; 25 Дж

Задача 2. По прямій рухаються дві матеріальні точки за законами

s 1(t)=6t2 -3; s2(t)=t3 . У якому проміжку часу швидкість першої точки більша від швидкості другої точки?

Розв 'язання:

Враховуючи те, що швидкість є похідною від координати (шляху), маємо такі залежності:

За умовою u1 >u2 тобто 12t>3t2 ; 12t-3t2>0; 3t(t–4)<0

+ – +


0 4 t є (0;4)

Відповідь: у проміжку часу t Î (0;4с) швидкість першої точки буде

більша за швидкість другої точки.

2. З точки зору фізики диференціювання - це визначення швидкості зміни змінної величини. сила струму є величиною , яка похідна по часу від заряду

потужність – величина, яка є похідною від роботи

Задача 3. Заряд конденсатора ємністю 10 пФ коливального контуру при здійсненні вільних електромагнітних коливань змінюється за законом

i=q/(t)=0,1p cos105pt (A), Іmax =0,1pA»0,314A=314мА


q=10–6sin l05pt. Знайти період коливань, амплітудне значення сили струму в котушці. Чому дорівнює енергія електричного поля конденсатора в момент, коли сила струму в котушці складає половину її амплітудного значення ?


Дано:

С=10пФ=10–11 Ф

q= 10 –6 sin 10 5 pt

I (t1)=0,5 I max




Т – ? Imax –?

Wел (t1) –?



За умовою задачі нас цікавить час, коли сила струму в котушці складає половину її амплітудного значення, тобто маємо cos105 pt1=0,5 , звідси значення синуса аналогічного аргументу становить sin105 pt1= , q(t1)=Qmax·

Wел(t1)=

Відповідь: 20 мкс, 314 мА, 37,5 мДж

Застосування похідної до розв'язання прикладних задач з геометрії

Розв'язання багатьох практичних задач зводяться до знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної на відрізку функції, тобто знаходження екстремумів (демонструється таблиця–схема знаходження найбільшого і найменшого значення неперервної функції на відрізку). Загальний метод розв'язування задач на екстремум за допомогою похідної складається з трьох етапів:

  1. формалізація (задача „перекладається" мовою функцій, для цього обирається зручний параметр х, через який шукану величину виражають як функцію f(x);

  2. розв'язання одержаної математичної задачі;

  3. інтерпретація знайденого розв'язку (переклад його з мови математики у терміни первинної задачі).

Задача 1. Човен знаходиться на озері на відстані 3 км від найближчої точки А берега. Пасажир човна має намір досягти села В, що розташоване на березі на відстані 5 км від А (ділянка AB берега вважається прямолінійною). Човен рухається зі швидкістю 4 км/год, а пасажир, вийшовши з човна, може за годину пройти 5 км. До якої точки берега має дістатися човен, щоби пасажир досяг села у найкоротший термін?

відстані 4 км від А, або на відстані 1 км від В.

Відповідь: на відстані 1 км від В.

Задача 2.

Серед усіх циліндрів, вписаних у дану кулю, знайдіть той, який має найбільший об’єм.

Задача 3

Серед усіх циліндрів, вписаних у дану кулю, знайдіть той, який має найбільшу бічну поверхню.

Задача 4.

Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = х2 - в точці xo = 1.

Виконати схематичний рисунок.

Розв'язання

1. y - yо = f '(xo)(x – xo) — рівняння шуканої дотичної.

2.Підставимо хo =1 у графік функції у = х2 - 4х: уo= 12 4*1 = 1 – 4 = - 3.

3. Знайдемо похідну функції: : у' = 2х-4.

4. Знайдемо f '(xo), якщо xo =1: f '(xo)=2*1-4=-2.

5. Підставляємо значення xo = 1, yo = –3, f'(xo) = –2 у рівняння дотичної:

y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х .

Схематичний рисунок :



V. Виконання вправ

^ Завдання для 1 групи

Тіло рухається за законом s(t) = t4t3 + t2 + 7t +12. Знайдіть швидкість точки через 2 с після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).

Розв'язання


υ(t)=s '(t)== t3 - t2 + t + 7;

v(2) = 23 - 22 + · 2 + 7 = 11 .

Відповідь: 11 .

Завдання для 2 групи

Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х2 - 2 у точці xo = -2;

Розв'язання


у '=6х; у0= 3*4-2=10

у' (xo)=6*(-2)=-12;

у+12=-12*(х+2), у=-12х-36

Відповідь: у=-12х-36.

Завдання для 3 групи



VІ. Підсумок уроку .

Підсумок проводиться по поставленій меті на початку уроку.

VІІ.Домашнє завдання

Повторити §6 .

Розв’язати задачі № 6, та № 9



Схожі:

Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconУрок на тему: Застосування похідної до розв’язуваня задач. Усе, що я пізнаю, я знаю, для чого це мені потрібно, де і як я можу ці знання застосувати. В. Кальпатрик
Мета уроку: ознайомити учнів з різними типами прикладних задач та методами їх розв’язування за допомогою похідної; формувати уміння...
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” icon«Застосування розв’язування трикутників у прикладних задачах»
Мета уроку: Формувати вміння учнів у застосуванні знань розв’язування трикутників до розв’язування прикладних задач. Розвивати у...
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” icon11 клас Тема: Задачі, пов’язані із застосуванням похідної
Мета: познайомити учнів із різними типами прикладних задач та методами їх розв’язування за допомогою похідної; формувати уміння застосовувати...
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconЗастосування закону Ома до розв'язування задач
Тип уроку: урок систематизації знань учнів, удосконалення навичок розв'язування задач
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconАлгебра 7 клас
Розв’язування задач за допомогою лінійних рівнянь. Рівняння як математична модель задачі
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconУрок геометрії 8 клас Кушнір с о вчитель вищої категорії Тема. Паралелограм І його види. Розв’язування задач. Мета
Мета: систематизувати, узагальнити знання учнів по темі, формувати уміння і навички розв’язувати задачі на знаходження невідомих...
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconЗастосування розв’язування трикутників у прикладних задачах

Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconУрок-подорож з математики 1 клас на тему: Країна чисел. Закріплення вивченого матеріалу. Розв'язування прикладів на додавання і
Тема: Країна чисел. Закріплення вивченого матеріалу. Розв’язування прикладів на додавання і віднімання в межах 20. Розв’язування...
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconУрок алгебри та початків аналізу в 11 класі. Тема уроку
Тема уроку: „Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач геометричного, фізичного та економічного змісту”
Алгебра 11 клас Вчитель: Пустовіт О. Д. Тема: „ Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач ” iconРозв’язування діофантових рівняннь
Ознайомити учнів з діофантовими рівняннями та різними способами їх розв’язування, можна на факультативних заняттях чи на засіданнях...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи