Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції icon

Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції




Скачати 119.6 Kb.
НазваЗастосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції
Дата конвертації27.09.2013
Розмір119.6 Kb.
ТипДокументи

Застосування похідної для дослідження функцій.


  1. Необхідні умови зростання і спадання функції.

  2. Теорема Лагранжа. Достатні умови зростання і спадання функції.

  3. Екстремуми функції. Необхідні умови існування екстремуму.

  4. Достатні умови екстремуму функції.

  5. Найбільше і найменше значення функції на проміжку.

  6. Опуклість кривої. Точки перегину.

  7. Схема дослідження функцій.




  1. Доведемо спочатку теорему про необхідну умову зростання функції на інтервалі.

Теорема 1. Якщо диференційована функція f (x), xÎ(a; b) зростає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х із інтервалу (a; b).

Доведення. Згідно з означенням зростаючої на (a; b) функції, якщо х>х0, то f (х)> f (х0), а якщо х<х0, то f (х)< f (х0). Отже, для будь-яких х0 і х із (a; b), х¹х0, справедлива нерівність

Оскільки f (х) диференційована на (a; b), то, переходячи до границі в останній нерівності при х®х0, дістанемо:

Теорему доведено.

Розглянемо тепер теорему про необхідну умову спадання функції на інтервалі.

Теорема 2. Якщо диференційована функція f (х), xÎ(a; b), спадає на інтервалі (a; b), спадає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х0 з інтервалу (a; b).

Доведення. Оскільки функція f (х) спадна, то функція F(x)=-f(x) зростаюча, і тому, за теоремою 1, для будь-якого x0Î(a; b). Звідси випливає, що для будь-якого x0Î(a; b). Теорему 2 доведено.

Інтервали, на яких функція зростає або спадає, називаються інтервалами монотонності цієї функції. Зауважимо без доведення, що якщо функція f (х) зростаюча (спадна) на інтервалі (a; b) і неперервна в точках a і b, то вона буде зростаючою (спадною) і на відрізку [a; b].


2. При доведенні теорем про достатні умови монотонності функція переважно використовується теорема, яку називають теоремою Лагранжа.

^ Теорема Лагранжа. Якщо функція f (х), xÎ[a; b], неперервна на відрізку [a; b] і диференційована на інтервалі [a; b], то знайдеться точка сÎ(a; b) така, що має місце формула

(1)

Достатні умови зростання і спадання функції.

Теорема 1. Якщо функція має додатню похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція зростає на інтервалі (a; b).

Доведення. Нехай х1 і х2 – дві довільні точки інтервалу (a; b), які задовольняють умови х12. Тоді, за теоремою Лагранжа, існує така точка сÎ(х12) така, що

Оскільки за умовою теореми i x2-x1>0, то з останньої формули випливає, що 2)>(х1). Останнє, згідно з означенням зростаючої функції, означає, що функція зростає на інтервалі (a; b). Теорему доведено.

Аналогічно доводять і наступну теорему про достатню умову спадання функції.

Теорема 2. Якщо функція має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція спадає на інтервалі (a; b).

Приклад 1. Знайти інтервали монотонності функції

Розв’язання. Задана функція визначена й диференційована на всій числовій прямій, причому . Оскільки f /(x)>0 для , то згідно з теоремою 2, задана функція зростає на інтервалах і . Оскільки f /(x)<0 для , то згідно з теоремою 2, задана функція спадає на інтервалі. .

Правило знаходження інтервалів монотонності.

1) Обчислимо похідну заданої функції , а потім знаходимо точки, в яких дорівнює нулю або не існує. Ці точки називаються критичними для функції .

  1. Критичними точками область визначення функції розбивається на інтервали, на кожному з яких похідна зберігає свій знак. Ці інтервали є інтервалами монотонності.

  2. Дослідимо знак на кожному із знайдених інтервалів. Якщо на даному інтервалі , то на цьому інтервалі зростає, якщо ж, то на цьому інтервалі спадає.


3. Означення 1. Точка х0 з області визначення називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий -окіл точки х0, що для всіх х¹х0 з -околу виконується нерівність >.

Означення 2. Точка х0 з області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий -окіл точки х0, що для всіх х¹х0 з -околу виконується нерівність <.

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в точках максимуму і мінімуму називають максимумом і мінімумом функції або екстремумами функції.

^ Необхідна умова існування екстремуму.

Теорема Ферма. Якщо точка х0 є точкою екстремуму функції у=, визначеної в деякому околі точки х0, і в цій точці існує похідна , то вона дорівнює нулю: =0

Доведення. Для визначеності вважатимемо, що екстремальна точка х0 – точка максимуму. Згідно з означенням це означає, що існує -окіл точки х0 такий, що для всіх х¹х0 з -околу виконується нерівність < .

За умовою теореми функція має в точці х0 похідну. Тому, з одного боку,

тому що х - х0 < 0 і -< 0 для всіх хÎ; а з другого боку,

тому що х - х 0 > 0 і -< 0 для всіх хÎ . Отже, =0

Доведення для точки мінімуму проводять аналогічно.

Зауваження. В теоремі Ферма встановлено лише необхідну умову існування екстремуму. Ця умова дає змогу лише виділити точки, в яких функція може мати екстремум. Це означає, що не будь-яка критична точка буде екстремальною. Наприклад, функція має в точці х=0 похідну, що дорівнює нулю, але для цієї функції точка х=0 не буде екстремальною.


4. Теорема 1. Нехай функція неперервна в точці х0 і в її -околі має похідні, крім, можливо, самої точки х0. Тоді

а)якщо похідна при переході через точку х0 змінює знак з плюса на мінус, то точка х0 є точкою максимуму функції ;

б) якщо похідна при переході через точку х0 змінює знак з мінуса на плюс, то точка х0 є точкою мінімуму функції ;

в) якщо існує окіл точки х0, в якому похідна зберігає свій знак, то в точці х0задана функція екстремуму не має.

Доведення. Нехай похідна при переході через точку х0 змінює знак з плюса на мінус. Це означає, що існує число >0 таке, що >0 для всіх х з інтервалу і <0 для всіх х з інтервалу . Оскільки >0 для , то за теоремою 1 з п. 1 випливає, що на інтервалі функція зростає. Отже, < для всіх х з інтервалу . Оскільки <0 для , то за теоремою 2 з п. 1 слідує, що на інтервалі функція спадає. Тому <для всіх х з інтервалу . Таким чином, маємо < для всіх х¹х0 з інтервалу , тобто згідно з означенням точка х0 є точкою максимуму функції .

Доведення випадків б) і в) аналогічне.

^ Правило знаходження екстремумів функції.

Нехай визначена і неперервна в деякому інтервалі (a; b), має похідну всюди на інтервалі (a; b), крім, можливо, скінченного числа стаціонарних точок. Тоді для знаходження екстремумів функції потрібно:

  1. Знайти критичні точки функції , тобто точки, в яких або , або не існує.

  2. Дослідити знак похідної в деякому -околі кожної критичної точки. Якщо змінює знак при переході через таку точку, то функція в цій точці має екстремум. А саме, якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то в цій точці мінімум; якщо з плюса на мінус, то в цій точці максимум. Якщо ж знак не змінюється при переході через задану точку, то функція не має екстремуму в цій точці.

Приклад 1. Знайти екстремуми функції xÎR.

Розв’язання.

1) Обчислимо похідну заданої функції і знайдемо критичні точки: =0, якщо ; не існує в точці х=0.Отже, критичні точки х1=0 і .


2) Дослідимо знак похідної в деякому околі кожної критичної точки. Результат дослідження заносимо в таблицю.

х



х=0

0<х<



<х<



+

не існує



0

+



зростає

0

спадає

»-2,03

зростає







максимум




мінімум





5. На практиці часто доводиться розглядати задачі, пов’язані з знаходженням найбільшого або найменшого значення з усіх тих значень, яких функція набуває на деякому відрізку. Якщо відомо, що на відрізку [a; b] функція монотонна, то найменше і найбільше значення дістають на кінцях відрізка, зокрема, якщо - зростаюча функція, то - найменше значення і - найбільше значення функції ; якщо ж - спадна функція, то - найбільше значення, а - найменше значення функції . Наприклад, функція 2 для хÎ[0; 1] зростає на відрізку [0; 1]. Отже, - найменше значення функції, а - найбільше значення.

у

1 у=х2




0 1 х


Нехай тепер не є монотонною на відрізку [a; b], але відомо, що неперервна на відрізку [a; b] і має похідну в усіх точках відрізка [a; b], за винятком, можливо, скінченного числа точок, і в неї не більше скінченного числа стаціонарних точок. Тоді найбільшого й найменшого значення на цьому відрізку функція набуває або в одній з критичних точок, що належать (a; b), або на кінцях відрізка [a; b].

Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізках: a) [-8; -1] i б) [-1; 1].


Розв’язання. Функція визначена на всій числовій прямій і має похідну

на всій числовій прямій, за винятком х=0.

Розв’яжемо рівняння

Критичними точками заданої функції є точки х=0 і х=0,8.

а) На відрізку [-8; -1] задана функція зростає, оскільки >0 для будь-якого

хÎ [-8; -1].

Отже, на відрізку [-8; -1] функція набуває найменшого значення при х=-8, а найбільшого значення при х=-1:

б) Обидві критичні точки функції належать відрізку [-1; 1]. Отже, найбільше і найменше значення заданої функції на відрізку [-1; 1] знаходяться серед значень і і тому ,

Приклад 2. Знайти найбільше й найменше значення функції на відрізку [0; 3].

Розв’язання: Розв’язавши рівняння , знайдемо критичні точки і .

Найменше з чисел , , є найменшим значенням, а найбільше – найбільшим значенням заданої функції на відрізку .

Відповідь. fнайм.- 3, fнайб.= 6.


6. Означення. Графік неперервної диференційованої функції , називається опуклим вгору на інтервалі , якщо похідна спадає на . А якщо зростає на , то графік цієї функції називається опуклим вниз.

Неважко помітити, що якщо графік функції опуклий вгору, то всі його точки знаходяться нижче будь-якої його дотичної, оскільки кутовий коефіцієнт дотичної зменшується із зростанням х. А якщо графік опуклий вниз, то всі точки знаходяться вище будь-якої її дотичної (крім, звичайно, самої точки дотику).


Означення. Інтервали, на яких графік функції опуклий вгору або вниз, називаються інтервалами опуклості графіка функції.

Достатні умови опуклості графіка функції. Теорема.

Нехай функція , має першу і другу похідні.

Тоді, якщо для всіх , то на інтервалі графік функції опуклий вгору, якщо ж для всіх , то графік функції опуклий вниз на .

Сформулюємо тепер правило знаходження інтервалів опуклості графіка функції.

Нехай функція , має в інтервалі похідні другого порядку включно, крім, можливо, скінченного числа точок, і має не більше скінченного числа нулів в інтервалі .

Тоді для знаходження інтервалів опуклості графіка функції потрібно:

  1. Знайти всі точки, в яких або , або не існує (ці точки називаються критичними точками функції за другою похідною).

  2. В кожному з інтервалів, на які розбивається інтервал критичними точками, знайденими в першому пункті даного правила, встановлюється знак .

Якщо в даному інтервалі , то на цьому інтервалі графік функції опуклий вниз, якщо ж , то опуклий вгору.

Приклад 1. Знайти інтервали опуклості графіка функції .

Розв’язання. Задана функція на всій числовій прямій має похідні і . Отже, маємо одну критичну точку за другою похідною. Вона розбиває числову пряму на два інтервали і .

Оскільки для всіх і для всіх , то графік функції опуклий вниз на інтервалі і опуклий вгору на інтервалі .(рис.96)


  1. Точки перегину. Як випливає з прикладу 1 попереднього пункту, точка з абсцисою графіка функції є одночасно кінцем інтервалу опуклості вгору і кінцем інтервалу опуклості вниз.

Означення. Точка графіка диференційованої функції, яка є одночасно кінцем інтервалу опуклості вгору і кінцем інтервалу опуклості вниз, називається точкою перегину графіка цієї функції.

Очевидно, що в точці перегину дотична до графіка кривої повинна, з одного боку, знаходитись вище графіка кривої, а з другого – нижче його, тобто перетинати криву в цій точці (рис. 98)

Теорема 1. (необхідна умова). Нехай функція не інтервалі має неперервну похідну другого порядку. Тоді, якщо точка з абсцисою є точкою перегину графіка цієї функції, то

Теорема 2. (достатня умова) . Нехай функція на інтервалі має похідну другого порядку. Тоді, якщо змінює знак при переході аргументу через , то є абсцисою точки перегину графіка заданої функції.

Отже, для знаходження точок перегину графіка функції , , потрібно:

  1. знайти критичні точки функції за другою похідною;

  2. дослідити знак другої похідної в деякому околі критичної точки.

Тоді, якщо змінює знак при переході аргументу через критичну точку то - точка перегину графіка заданої функції.

Приклад. Знайти точки перегину графіка функції

.

Розв’язання. Задана функція на всій числовій прямій має похідні

, .

Знайдемо критичні точки функції (за другою похідною) з рівняння , тобто . Отже, і - критичні точки заданої прямої. З’ясуємо знак в околі точок і .

Якщо , то ; якщо , то . Отже, точка точка перегину.

Якщо , то , а якщо , то . Отже , точка - точка перегину.

Завдання для самостійної роботи


1. Знайти проміжки зростання і спадання та екстремуми функцій і зробити малюнок.

а); б) ;


в), г)

2. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку

[-1;+2] і побудувати графік.

3. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [-4;1] і побудувати графік.

4. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

5. Знайти інтервали опуклості та точки перегину графіка функції .




Схожі:

Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconЗростання і спадання функції. Екстремуми. Необхідні умови зростання і спадання функції
Теорема Якщо диференційована функція f (x), xÎ(a; b) зростає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х із інтервалу (a; b)
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconУрок алгебри в 10 класі з використанням еом тема: Застосування похідної до дослідження функції та побудова графіків. Мета уроку
...
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconЗастосування диференціала до наближення обчислень
Означення диференціала функції. Відповідно до означення похідної функції в точці маємо
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconУрок на тему: Застосування похідної до розв’язуваня задач. Усе, що я пізнаю, я знаю, для чого це мені потрібно, де і як я можу ці знання застосувати. В. Кальпатрик
Мета уроку: ознайомити учнів з різними типами прикладних задач та методами їх розв’язування за допомогою похідної; формувати уміння...
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconПохідна. Застосування похідної
На рисунку зображено графік функції у = f(x) та дотичні до нього в точках з абсцисами хх та
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconЗавдання 1 виконати сортування за назвами міст України від а до я за чисельностю населення у порядку зростання. За щільністю населення у порядку спадання Всі міста України
України від а до я за чисельностю населення у порядку зростання. За щільністю населення у порядку спадання
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconФункції та повноваження місцевого самоврядування
Конституції і законів України, а повноваження – це права і обовязки, необхідні для здійснення завдань і функцій місцевого самоврядування...
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconУрок по темі "Похідна функції". Тема уроку. Похідна. Фізичний і геометричний зміст похідної
Продовжувати формувати навики застосування формул і правил диференціювання при розв'язуванні вправ, підготувати учнів до контрольної...
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconПоурочне планування з алгебри та початків аналізу для 11 класу для класів з поглибленим вивченням математики
Застосування похідної для розв`язування рівнянь, доведення нерівностей і тотожностей
Застосування похідної для дослідження функцій. Необхідні умови зростання і спадання функції iconУрок №3 Тема уроку: Задачі, які приводять до поняття похідної. Поняття похідної Вчитель математики Кравчук Г. Т
Ввести поняття похідної та з’ясувати її механічний, геометричний та економічний зміст
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи