Определители основные понятия icon

Определители основные понятия




Скачати 137.7 Kb.
НазваОпределители основные понятия
Дата конвертації10.04.2013
Розмір137.7 Kb.
ТипДокументи

  1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ


Основные понятия

Определителем 2-го порядка называется число, обозначаемое

и равное , т.е.




Символы называются элементами определителя, причем первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Элементы и образуют главную диагональ определителя; и побочную.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:





т. е. из произведения элементов главной диагонали вычитается про­изведение элементов побочной.


Определителем 3-го порядка называется число, обозначаемое


. (1)

Элементы , , ,образуют главную диагональ определите­ля, элементы , , – побочную.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользовать­ся правилом треугольников (или Саррюса). Согласно этому правилу слагаемые составлены из произведений элементов, местоположение которых символически можно указать следующим образом:



(основания (основания

треугольников треугольников

параллельны параллельны

главной побочной

диагонали) диагонали)


^ Определителем п-го порядка называется число, обозначаемое


.


Порядком определителя называется число строк или столбцов (которых всегда одинаковое количество).

Минором элемента определителя n-го порядка на­зывается определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного пу­тем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых нахо­дится выбранный элемент.

Так, если , то , .


Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка назы­вается его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма – четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная, т.е.

.

Так, , .


Свойства определителя


10. (О равноправии строк и столбцов). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Эта операция называется транспонированием.

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.


20. При перестановке двух параллельных рядов опре­делитель меняет знак на противоположный.


30. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, ра­вен нулю.


40. Если все элементы некоторого ряда равны нулю, то определитель равен нулю.


50. Общий множитель элементов какого-либо ряда оп­ределителя можно вынести за знак определителя.


60. Если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ря­да, то такой определитель равен нулю.


70. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей, в первом из которых в соответствующем ряду стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; все остальные элементы в двух определителях одинаковые.


80. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда приба­вить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.


90. (О разложении определителя по элементам некоторо­го ряда). Определитель равен сумме произведений элементов не­которого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.


100. (Об аннулировании.) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих эле­ментов параллельного ряда равна нулю.


^ Методы вычисления определителя n-ого порядка


1. Метод понижения порядка (метод разложения по элементам некоторого столбца (строки)). По свойству 90 любой определитель n-ого порядка можно свести к вычислению определителя -ого порядка, т.к.

или .

Например, для определителя 3-го порядка такое разложение по элементам первой строки будет иметь вид:



Заметим, что если определитель содержит нули, то удобнее вести разложения по тем столбцам (строкам), которые содержат наибольшее число нулей. Кроме того, с помощью свойств определителя можно получить все нулевые элементы в некотором столбце (строке), кроме одного. Таким образом, вычисление определителя -го порядка, если он не равен нулю, сводиться к вычислению определителя -ого порядка.

2^ . Метод приведения определителя к треугольному виду.

Определителем треугольного вида называется определитель, у которого все элементы стоящие ниже (выше) главной диагонали равны нулю.

Определитель треугольного вида равен произведению элементов его главной диагонали, т.е.


.

Приклад 1. Вычислить определитель: 1) по правилу треугольников; 2) разложив по элементам первой строки.

Розв­­­­­­­’язання.

1. Используя правило треугольников (1), получим






2. Используя метод понижения порядка, разложим определитель по элементам первой строки



Получим




.


Приклад 2. Задано . Знайти: 1) косинус кута між векторами , ; 2) векторний добуток векторів та .

Розв­­­­­­­’язання.

1. За формулою (6) , где , . Через те, що маємо

.

2. За формулою (7) .


  1. ^ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Основные понятия

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. от­резок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А - начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом или .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается ||.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат ^ Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Оу и Oz единичные век­торы (орты), обозначаемые соответственно (см. рис.1).




Рис.1


Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: =.

Обозначим проекции вектора = на оси , , соответ­ственно , и , т. е. || = , | |= , | | = . Формула

(2)

назы­вается разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, ау, az называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (2) часто записывают в символическом ви­де: .

Модуль (длина) вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат, т.е.

. (3)


Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора на­зываются координатами точки М. Вектор называется радиус-вектором точки М, обозначается , т. е. . Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора или

Координаты точки М записываются в виде M(x;y;z).


Координаты вектора

Найдем координаты вектора , если известны координаты точек A(;;) и В(;;). Имеем (см. рис.2)





Рис.2


Следовательно, координаты вектора равны разностям соответ­ствующих координат его конца и начала: =.


Скалярное произведение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и назы­вается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается , (или ). Итак, по определению,

, (4)

где = .


^ Свойства скалярного произведения

10 .

20 .

30 .

40.

50.


Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов

Если , , то

. (5)


^ Определение угла между ненулевыми векторами

Пусть , . Из формул (4), (3), (5) получим , т.е.

(6)


Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется век­тор , который:

1) перпендикулярен векторам и , т. е. и ;

2) имеет длину, численно рав­ную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е.

, где ;

3) векторы , и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или .


Свойства векторного произведения

10.

20.

30.

40.


Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов

Если , , то

(7)


1.4 Границя функції


Основні поняття

Нехай функція визначена в деякому околі точки , окрім, може бути, самої точки .

Сформулюємо два, еквівалентних між собою, означення границі функції в точці.

^ Означення1(на «мові послідовностей», або по Гейне). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для деякої послідовності , , яка збігається к (т. б. ), послідовність відповідних значень функ­ції збігається до числа А (т. б. ).

^ Означення 2(на «мові », або по Коші). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для деякого знайдеться таке число , що для всіх x, які задовольняють нерівності , виконується нерівність .

Записують .


Основні теореми про границі

Нехай існують границі та . Тоді:

1. , c=const.

2. .

3. .

4. , .


Практичні правила обчислення границь

Якщо с=const і , то мають місце наступні відношення:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .


При розв'язанні прикладів часто трапляються невизначеності виду:

, , , , , , ,

від яких треба обов'язково звільнятися за допомогою алгебраїчних перетворень.


Нескінченно малі (н.м.) та нескінченно великі (н.в.) функції

Функція у = називається нескінченно малою при , якщо

.

Функція у = називається нескінченно великою при , якщо

. Нескінченно малі функції часто називають нескінченно малими величинами або нескінченно малими та позначають частіше грецькими буквами , и т.д. Існує зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями:

- якщо функція — нескінченно мала , то функція є нескінченно великою;

- якщо функція — нескінченно велика, то — є нескінченно малою.


Еквівалентні нескінченно малі функції

Нехай та нескінченно малі функції при .

Якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими та пишуть ~ при .

На практиці використовують наступні основні властивості про еквівалентні нескінченно малі:

1. Якщо ~, ~ при , то .

2. Якщо ~ при , то .

3. Сума скінченого числа нескінченно малих функцій різних порядків еквівалентна доданку нижчого порядку.


Застосування еквівалентних н.м.ф. до обчислення границь

Для розкриття невизначеностей виду часто буває корисним застосування принципу заміни нескінченно малих еквівалентними.

Нижче наведені найважливіші еквівалентності, які використовуються при обчисленні границь, якщо при :


1) ~;

6) ~;

2) tg~;

7) ~;

3) arcsin~;

8) ln(1+)~;

4) arctg~;

9) ~;

5) ~;

10) ~.



1.5 Похідна та диференціал функції


Основні поняття

Нехай функція визначена на деякому інтервалі .

Похідною функції в точці x називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

.

Функція , яка має похідну в кожній точці інтервалу , називається диференційованою в цьому інтервалі; операція знаходження похідної функції називається диференціюванням.


^ Правила диференціювання

Нехай ,. Тоді виконуються наступні правила диференціювання:

1. .

2. .

3. .

4. , .

5. , якщо , .


^ Таблиця похідних

На практиці частіше треба знаходити похідні від складених функцій. Тому в наведеній нижче таблиці формул диференціювання аргумент «x» змінений на проміжний аргумент «и».

1



10



2

;

11



3



12



4



13



5



14



6



15



7



16



8



17



9



18




Для обчислення похідних треба знати лише правила диференціювання та формули похідних основних елементарних функцій, строго дотримуватися цих правил при виконанні вправ.

Приклад 3. Обчислити .

Розв’язання.

Підстановка граничного значення призводить до невизначеності типу . Врахуємо властивості арифметичних дій над границями:

.

Далі використовуються еквівалентні нескінченно малі (9): ~, ~, ~ при .

Маємо

=

=.


Приклад 4. Дано . Знайти похідну , диференціал .

Розв’язання.

Для першого доданка використовували правило 3 диференціювання добутку функції , для другого – правило 5 диференціювання складної функції, а також таблицю похідних:

.

Пояснення: другий доданок можна представити наступним чином: , . Похідну складної функції знайдемо за правилом .

Згідно з означенням (10) . Отже,

.



Схожі:

Определители основные понятия iconВведение (обзор). Основные понятия План
Мы будем использовать второе и третье определение, то есть рассматривать организацию
Определители основные понятия icon1. введение основные понятия
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах
Определители основные понятия iconГубка Менгера l-системы. Основные понятия
Алгоритм, позволяющий получать графическое представление слова при помощи тертл-графики
Определители основные понятия iconЭлектротехника и электроника электроника. Основные понятия и определения

Определители основные понятия iconДокументи
1. /ДСТУ EN 292-1-2001 Безопасность машин. Основные понятия и общие принципы проектирования....
Определители основные понятия iconДокументи
1. /ДСТУ EN 292-1-2001 Безопасность машин. Основные понятия и общие принципы проектирования....
Определители основные понятия iconОсновные понятия языка Pascal
Оператор – самостоятельная единица языка, которая описывает содержание соответствующего этапа алгоритмического процесса, т е команда,...
Определители основные понятия icon1. Основные понятия 1 Организация ее структура
Мы будем использовать второе определение, то есть рассматривать понятие организация- как организационную систему (ОС), элементами...
Определители основные понятия icon1. 1 Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, мат точка, сила
Массу Ньютон определяет как количество материи, а кельвин как количество энергии
Определители основные понятия iconВнеклассное мероприятие по истории Древнего мира в 6-х классах Цель мероприятия
Обеспечить системное усвоение знаний учащихся по теме «Древний мир». Повторить основные понятия курса, даты, события, вспомнить исторических...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©te.zavantag.com 2000-2017
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи